立体几何体表面积与体积.doc

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立体几何体的表面积和体积

一．【要点归纳】

1．多面体的面积和体积公式

名称

侧面积（S侧）

全面积（S全）

体积（V）

棱

柱

棱柱

直截面周长×l

S侧+2S底

S底·h=S直截面·h

直棱柱

ch

S底·h

棱

锥

棱锥

各侧面积之和

S侧+S底

S底·h

正棱锥

ch′

棱

台

棱台

各侧面面积之和

S侧+S上底+S下底

h（S上底+S下底+）

正棱台

（c+c′）h′

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

S侧

2πrl

πrl

π（r1+r2）l

S全

2πr（l+r）

πr（l+r）

π（r1+r2）l+π（r21+r22）

4πR2

V

πr2h（即πr2l）

πr2h

πh（r21+r1r2+r22）

πR3

表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径

二．【典例解析】

题型1：

柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.

点评：

涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。

我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。

（1）求证：

顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；

（2）求这个平行六面体的体积

题型2：

柱体的表面积、体积综合问题

例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）

A．2 B．3 C．6 D．

点评：

解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

例4．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=_____。

2

2

2

正（主）视图

2

2

侧（左）视图

点评：

解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。

最后用统一的量建立比值得到结论即可

题型3：

锥体的体积和表面积

例5．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）.

A.B.C.D.

【命题立意】:

本题考查了立体几何中的空间想象能力,

由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.

例6、设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。

若圆C的面积等于，则球O的表面积等于

例7．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？

点评：

该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。

构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。

例8．已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满足的等量关系是______.

例11．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。

点评：

本题也可用补形法求解。

将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略

题型4：

球的面积、体积综合问题

例9．

（1）表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积。

（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。

题型5：

球面距离问题

例10．在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离

点评：

要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离

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