高中数学奥数培训资料之托勒密定理试题.doc

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《托勒密定理及其应用》

托勒密定理：

圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）．

即：

E

D

C

B

A

一、直接应用托勒密定理

例1如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点（不与B、C重合），求证：

PA=PB＋PC．

二、完善图形借助托勒密定理

例2证明“勾股定理”：

在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：

AC2=AB2＋BC2

例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：

AD·BC=BD（AB＋AC）．

三、构造图形借助托勒密定理

例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：

ax＋by≤1．

四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理

例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b（b＋c），求证：

∠A=2∠B．

五、巧变形妙引线借肋托勒密定理

例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，

练习：

1.已知△ABC中，∠B=2∠C。

求证：

AC2=AB2+AB·BC。

2．已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。

求证：

。

（第21届全苏数学竞赛）

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