高中数学必修1基本初等函数常考题型：对数函数及其性质的应用(复习课).doc
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对数函数及其性质的应用（复习课）
【常考题型】
题型一、对数值的大小
【例1】
（1）下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）比较下列各组值的大小．
①与；
②与；
③与.
（1）[解析] ,，，故选C.
[答案] C
（2）[解] ①法一：
对数函数在上是增函数，
而，∴.
法二：
∵，，
∴.
②由于，.
又因对数函数在上是增函数，且，
∴，∴.
∴.
③取中间值，
∵，∴.
【类题通法】
比较对数值大小的方法
比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
（2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
（3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较．
（4）若底数与真数都不同，则常借助,等中间量进行比较．
【对点训练】
比较下列各组中两个值的大小：
（1），；
（2），（，且）；
（3），；
（4），.
解：
（1）因为函数是增函数，且，
所以.
（2）当时，函数在上是增函数，又，所以；
当时，函数在上是减函数，
又，所以.
（3）因为，所以，即.
（4）因为函数是增函数，且，所以.
同理，，所以.
题型二、求解对数不等式
【例2】
（1）已知，若，则的取值范围是________．
（2）已知，则的取值范围为________．
（3）已知，则的取值范围为________．
[解析]
（1）∵，
∴在上是减函数，
∴.
（2）由得.
①当时，有，此时无解．
②当时，有，
从而.
∴的取值范围是.
（3）∵函数在上为减函数，
∴由得，解得，
即的取值范围是．
[答案]
（1）
（2） （3）
【类题通法】
常见对数不等式的解法
常见的对数不等式有三种类型：
（1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况讨论．
（2）形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解．
（3）形如的不等式，可利用图象求解．
【对点训练】
若且，且，求的取值范围．
解：
不等式可化为，
等价于或，
解得，即的取值范围为.
题型三、对数函数性质的综合应用
【例3】
（1）下列函数在其定义域内为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）已知（）．
①求的定义域和值域；
②判断并证明的单调性．
（1）[解析] 指数、对数函数在其定义域内不具备奇偶性，故选D.
[答案] D
（2）[解] ①由，，即，得.
故的定义域为．
由，可知.
故函数的值域为．
②在上为减函数，证明如下：
任取，又，∴，∴，
∴（）（），即，故在上为减函数．
【类题通法】
解决对数函数综合问题的方法
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．
【对点训练】
已知函数，
（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？
如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．
解：
（1）由题设，对恒成立，且，.
设，
则在上为减函数，
∴，
∴.
∴的取值范围是.
（2）假设存在这样的实数，则由题设知，
即，∴.
此时.
但时，无意义．故这样的实数不存在．
【练习反馈】
1．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：
选D 由于，故.
2．函数的奇偶性是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
解析：
选A 定义域为，
，
∴为奇函数，故选A.
3．不等式的解集为________________．
解析：
由题意，
.
答案：
4．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则________.
解析：
∵，
∴在上递增，
∴，
即，
∴，.
答案：
5．已知函数，，其中（且），设．
（1）求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；
（2）若，求使成立的的集合．
解：
（1）∵的定义域为，
的定义域为，
∴的定义域为．
∵＝，
∴[]，
∴为奇函数．
（2）∵，∴.
∴，
∴等价于，
∴，
解得.
故使成立的的集合为．
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