高中三角函数常见题型与解法.doc

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教育杏坛：

三角函数的题型和方法

一、思想方法

1、三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：

特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：

sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；配凑角：

α=（α+β）－β，β=－等。

（3）降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。

asinθ+bcosθ=sin（θ+），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

（6）万能代换法。

巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。

2、证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：

利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：

综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3、证明三角不等式的方法：

比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4、解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：

观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：

运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：

选择恰当的公式，促使差异的转化。

二、注意事项

对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：

1、三角函数式化简的目标：

项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。

2、三角变换的一般思维与常用方法。

注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如

．也要注意题目中所给的各角之间的关系。

注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。

熟悉常数“1”的各种三角代换：

等。

注意万能公式的利弊：

它可将各三角函数都化为的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁。

熟悉公式的各种变形及公式的范围，如

sinα=tanα·cosα，，等。

利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如，，等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化。

3、几个重要的三角变换：

sinαcosα可凑倍角公式；1±cosα可用升次公式；

1±sinα可化为，再用升次公式；

（其中）这一公式应用广泛，熟练掌握。

4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．

5、三角函数的图像的掌握体现在：

把握图像的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。

6、三角函数的奇偶性结论：

①函数y=sin（x＋φ）是奇函数。

②函数y=sin（x＋φ）是偶函数。

③函数y=cos（x＋φ）是奇函数。

④函数y=cos（x＋φ）是偶函数。

7、三角函数的单调性

三、典型例题与方法

题型一三角函数的概念及同角关系式

此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取。

1、三角函数的六边形法则。

2、几个常用关系式：

（1），三式知一求二。

（2）。

（3）当时，有。

3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）。

4、。

5、熟记关系式；。

【例1】记,那么（）

A、B、﹣C、D、﹣

解：

。

故选B

评注：

本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用。

同时熟练掌握三角函数在各象限的符号。

【例2】（）

A、B、-C、D、

解：

评注：

本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识。

练习：

1、sin585°的值为（）

A、B、C、D、

2、下列关系式中正确的是（）

A、 B、

C、 D、

3、若，则．

4、“”是“”的（）

A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件

C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件

5、

A、B、2C、D、

题型二化简求值

这类题主要考查三角函数的变换。

解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值。

【例3】已知为第三象限的角，,则。

解：

为第三象限的角<<

<2<（）

又<0,,

.

评注：

本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。

是一道综合性较强的题目。

【例4】已知，求

（1）；

（2）的值。

解：

（1）；

（2）

评注：

利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

练习：

1、已知，则

A、 B、 C、 D、

2、函数最小值是（）

A、-1B、C、D、1

3、“”是“”的（）

A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件

C、充要条件D、既不充分也不必要条件

题型三函数的图像及其性质

图像变换是三角函数的考察的重要内容，解决此类问题的关键是理解A、的意义，特别是的判定，以及伸缩变换对的影响。

【例5】为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）

A、向左平移个长度单位B、向右平移个长度单位

C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位

解：

=，

=，

将的图像向右平移个长度单位得到的图像，

故选B.

评注：

本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数中的对函数图像变化的影响是历年考生的易错点，也是考试的重点。

【例6】设>0,函数y=sin（x+）+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（）

A、B、C、D、3

解：

将y=sin（x+）+2的图像向右平移个单位后为

=2k,即

又，k≥1

故≥，所以选C

评注：

本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。

【例7】函数的最小正周期为（）

A、B、C、D、

【答案】A

【解析】由可得最小正周期为,

【例8】函数的最小值是_____________________。

【答案】

【解析】，所以最小值为：

【例9】若函数，，则的最大值为（）

A、1B、C、D、

【答案】B

【解析】因为==

当是，函数取得最大值为2。

故选B。

练习：

1、将函数的图像向左平移0＜2的单位后，得到函数的图像，则等于（）

A、B、C、D、、

2、若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（）

A、B、C、D、

3、将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位,所得图像的函数解析式是（）

A、B、C、D、

4、已知函数的最小正周期为，的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（）

A、B、C、D、

5、已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（）

A、向左平移个单位长度B、向右平移个单位长度

C、向左平移个单位长度D、向右平移个单位长度

6、已知是实数，则函数的图像不可能是（）

7、已知函数=Acos（）的图象如图所示，，则=（）

A、B、C、－D、

8、函数（为常数，）在闭区间上的图像如图所示，则=.

9、已知函数y=sin（x+）（>0,-<）的图像如图所示，则=________________

10、已知函数的图像如图所示，则。

11、已知函数的图像如图所示，则＝

12、已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（）

A、B、

C、D、

13、如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）

A、B、C、D、

14、已知函数，下面结论错误的是（）

A、函数的最小正周期为

B、函数在区间上是增函数

C、函数的图像关于直线＝0对称

D、函数是奇函数

15、若，则函数的最大值为。

16、已知函数

（1）求函数的最小正周期。

（2）求函数的最大值及取最大值时x的集合。

17、已知函数，其图像过点。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值。

18、设函数。

（1）求函数的最大值和最小正周期。

（2）。

19、设函数。

（1）求的最小正周期。

（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值。

20、设函数的最小正周期为。

（1）求的最小正周期。

（2）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间。

21、已知函数的定义域为，值域为[－5，1]，求常数a、b的值。

22、已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）。

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

题型四三角函数与解三角形

此类题主要考查在三角形中三角函数的利用.解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。

【例10】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（）

A、B、C、D、

解：

由正弦定理得

所以cosA==，所以A=300

评注：

解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。

通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。

【例11】在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=________。

解：

=

评注：

三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。

这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。

练习：

1、在锐角中，则的值等于，的取值范围为。

2、在中，。

（Ⅰ）求AB的值。

（Ⅱ）求的值。

3、在中，角所对的边分别为，且满足，。

（I）求的面积；（II）若，求的值．

4、在中，角的对边分别为，。

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积．

5、在中，为锐角，角所对的边分别为，且

（I）求的值；（II）若，求的值。

6、设函数在处取最小值。

（1）求的值；

（2）在ABC中，分别是角A,B,C的对边,已知，求角C。

7、设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为，，，求B。

题型五三角函数与平面向量

【例13】平面直角坐标系有点。

（1）求向量和的夹角的余弦用表示的函数；

（2）求的最值。

解：

（1），

即

（2），又，

，，。

说明：

三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。

【例14】已知向量m=（sinA,cosA）,n=，m·n＝1，且A为锐角。

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求函数的值域。

解：

（Ⅰ）由题意得

由A为锐角得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

所以

因为x∈R，所以，因此，当时，f（x）有最大值。

当时，有最小值-3,所以所求函数的值域是。

练习：

1、设向量。

（1）若与垂直，求的值；

（2）求的最大值；

（3）若，求证：

∥。

2、已知向量

（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若求的值。

3、已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，。

（1）若//，求证：

ΔABC为等腰三角形；

（2）若⊥，边长c=2，角C=，求ΔABC的面积。

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