专题复习等腰边三角形与直角三角形Word格式文档下载.docx
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2．等腰三角形的性质．
4．（2019内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°
，则∠BAC的度数为（）
A．40°
B．45°
C．60°
D．70°
∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°
，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°
，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°
，∴∠BAC=180°
﹣70°
×
．故选A．
1．等腰三角形的性质；
2．平行线的性质．
5．（2019荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）
A．8或10B．8C．10D．6或12
【答案】C．
2．三角形三边关系；
3．分类讨论．
6．（2019广州）已知2是关于x的方程x-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个
2
根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）
A．10B．14C．10或14D．8或10
【答案】B．
2试题分析：
∵2是关于x的方程x-2mx+3m=0的一个根，∴2-4m+3m=0，m=4，2
∴x-8x+12=0，解得x=2或x=6．
①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
1．解一元二次方程-因式分解法；
2．一元二次方程的解；
3．三角形三边关系；
4．等腰三角形的性质；
5．分类讨论．
7．（2019丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°
，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）
A．15°
B．17.5°
C．20°
D．22.5°
8．（2019龙岩）如图，
ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）
A
B
C
D．1
1
∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，∴∠PBC=2∠ABC=30°
，∵PC⊥BC，
∴∠PCB=90°
，在Rt△PCB中，PC=BC•tan∠
=1，∴点P到边AB所在直线的距离为1，故选D．
1．角平分线的性质；
2．等边三角形的性质；
3．含30度角的直角三角形；
4．勾股定理．
9．（2019乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）
D
1．锐角三角函数的定义；
2．勾股定理；
3．勾股定理的逆定理；
4．网格型．
10．（2019资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）
A．13cm
．cmC
cmD
．cm
1．平面展开-最短路径问题；
2．最值问题．
11．（2019德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°
，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）
A．60°
C．30°
D．75°
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°
，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，∴∠CED=∠A，CE=BE=AE，∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，
∴△ACE是等边三角形，∴∠CED=60°
，∴∠B=2∠CED=30°
．故选C．
1．直角三角形斜边上的中线；
2．轴对称的性质．
12．（2019眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B=900，∠A=300，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=l，则AC的长是（
）
．23B．2C．43D．4
1．含30度角的直角三角形；
2．线段垂直平分线的性质；
3．勾股定理．
13
．（2019荆门）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）
11
A．3B
1C
．2D．4
∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°
，
AC，又
∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=2AC，∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°
，∴
DE1
AC，∴tan∠DBC=BE
==3．故选A．
1．解直角三角形；
2．等腰直角三角形．
14．（2019襄阳）如图，在△ABC中，∠B=30°
，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（）
B．1C
D．2
2．角平分线的性质；
3．线段垂直平分线的性质．
15．（2019北京市）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）
A．0.5kmB．0.6kmC．0.9kmD．1.2km
，M为AB的中点，∴MC=2AB=AM=1.2km．故选D．
2．应用题．
16．（2019天水）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°
AB=AD=，
，
3
点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为2，则点P的个数为（）
A．2B．3C．4D．5
1．等腰直角三角形；
2．点到直线的距离．
17．（2019龙岩）如图，
的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）
18．（2019龙东）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）
A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．5
过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，
1111
∴△ABF中，
=3，∴2×
8×
3=2×
5×
PD+2×
PE，12=2×
（PD+PE），
PD+PE=4.8．故选A．
1．勾股定理；
2．等腰三角形的性质；
3．动点型．
19．（2019安顺）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）
33232A．B．C．3D．6
1．翻折变换（折叠问题）；
2．勾股定理．
20．（2019滨州）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）
A．直线的一部分B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
连接OC、OC′，如图，∵∠AOB=90°
，C为AB中点，∴OC=2AB=2A′B′=OC′，∴当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，∴滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．
1．轨迹；
2．直角三角形斜边上的中线．
21．（2019烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…
按照此规律继续下去，则S2019的值为（）
2019112019（）2019（）2019
．B
．C．2D．2
2．正方形的性质；
3．规律型；
4．综合题．22．（2019烟台）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程
x2-6x+n-1=0的两根，则n的值为（）
A．9B．10C．9或10D．8或10【答案】B．【解析】
∵三角形是等腰三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况：
①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x-6x+n-1=0的两根，∴x=2，把x=2代入x-6x+n-1=0得，4﹣6×
2+n﹣1=0，解得：
n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意；
②当a=b时，方程x-6x+n-1=0有两个相等的实数根，∴△=（-6）﹣4（n﹣1）=0，
解得：
n=10，故选B．
1．根的判别式；
3．等腰直角三角形；
4．分类讨论．23．（2019崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（）
A．160B．161C．162D．163【答案】B．
1．规律型；
2．综合题．24．（2019宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°
，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为．
【答案】5．
1．三角形中位线定理；
2．直角三角形斜边上的中线．25．（2019常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°
后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．
【答案】
（400，800）．【解析】试题分析：
连接AC，由题意可得：
AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，
∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：
（400，800）．故答案为：
（400，800）．
1．勾股定理的应用；
2．坐标确定位置；
3．全等三角形的应用．26．（2019南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°
，则∠ADC=度．
【答案】52．
等腰三角形的性质．27．（2019苏州）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．
【答案】27．【解析】
∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG
是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=2AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△1
ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=2BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故
答案为：
27．
3．轴对称的性质．28．（2019西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°
，则顶角的度数是．【答案】110°
或70°
．
2．分类讨论．29．（2019南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．
【答案】45°
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°
．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°
．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°
+60°
=150°
，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°
﹣∠BAE）÷
2=15°
，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°
﹣15°
=45°
，故答案为：
45°
．考点：
1．正方形的性质；
2．等边三角形的性质．30．（2019攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．
1．轴对称-最短路线问题；
3．最值问题；
4．综合题．31．（2019昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，
BC=BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．
．
1．等边三角形的判定与性质；
2．三角形的重心；
3．三角形中位线定理；
4．综合题；
5．压轴题．32．（2019淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°
，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是度．
【答案】120，150．【解析】
∵等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°
，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=60°
﹣45°
=15°
，在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD=30°
，∴过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是180°
；
180°
﹣30°
=120°
120，150．
3．等边三角形的性质；
4．综合题．33．（2019黄冈）在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为__________cm．【答案】126或66．
2．分类讨论；
3．综合题．34．（2019庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）
如图所示，∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，∴展开后AB=1.5×
2π=3πcm，
cm．故答案为
：
BC=3cm，由勾股定理得：
AC===
35．（2019朝阳）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：
AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°
，∠MBC=30°
，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1
=1.41
=1.73）．
【答案】2.9．
勾股定理的应用．36．（2019辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于．
【答案】8．【解析】
∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，∴AB=2DE=2×
5=10，∴在Rt△ABD中，
．故答案为：
8．
2．勾股定理．37．（2019柳州）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．
（1）求DB的长；
（2）在△ABC中，求BC边上高的长．
（1）3；
（2）6．
2．三角形中位线定理．38．（2019柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°
，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？
110
（1）4；
（2）t=6或13．
1．平行四边形的判定与性质；
2．勾股定理的逆定理；
3．直角梯形；
4．动点型；
5．分类讨论；
6．综合题．
【2019年题组】1．（2019²
江苏省盐城市）若等腰三角形的顶角为40°
，则它的底角度数为（）A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【答案】D．【解析】
因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°
，所以其底角为
180︒-40︒
2=70°
．故选D．
2.（2019²
桂林）下列命题中，是真命题的是（）A．等腰三角形都相似B．等边三角形都相似C．锐角三角形都相似D．直角三角形都相似【答案】B．【解析】试题分析：
根据相似三角形的判定，只有等边三角形的内角都相等，为60°
，从而都相似．故选B．
1．命题和定理；
2.相似三角形的判定；
3．等边三角形的性质.3.（2019湖南省湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°
，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（）
A．4
B．2
C．1D．2
等腰直角三角形．
4.（2019贵州安顺市）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b
（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）
A．7或8B．6或1OC．6或7D．7或10【答案】A．【解析】
∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，
⎧2a-3b+5=0⎨
2a+3b-13=0，∴⎩
⎧a=2⎨
b=3，解得⎩
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；
综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选A．
1.等腰三角形的性质；
2.非负数的性质：
偶次方；
3.非负数的性质：
算术平方根；
4.解二元一次方程组；
5.三角形三边关系．
5.（2019张家界）如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=60︒，DE是斜边AC的中垂线分别交AB、AC于D、E两点，若BD=2，则AC的长是（）
BC.8
D.【答案】B．
1.线段垂直平分线的性质；
2.含30度角的直角三角形；
3.勾股定理．6.（2019吉林）如图，△ABC中，∠C=45°
，点D在AB上，点E在BC上．若AD=DB=DE，AE=1，则AC的长为（）
A．【答案】D
B．2
C．
D．
1、等腰直角三角形；
2、等腰三角形的判定与性质．
7.（2019吉林）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．
（﹣1，2）【解析】
∵直线y=2x+4与y轴交于B点，∴y=0时，2x+4=0，解得x=﹣2，∴B（0，4）．
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，∴C在线段OB的垂直平分线上，∴C点纵坐标为2．
将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=﹣1．
故C′的坐标为（﹣1，2）．
1、一次函数图象上点的坐标特征；
2、等边三角形的性质.8.（2019毕节）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°
，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为．
【答案】2．
1．折叠的性质；
2.勾股定理；
3.方程思想的应用
☞考点归纳
归纳1：
等腰三角形
基础知识归纳：
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：
等腰三角形的两个底角相等（简称：
等边对等角）
推论1：
等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：
等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°
。
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：
等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
基本方法归纳：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
b③等腰三角形的三边关系：
设腰长为a，底边长为b，则2
④等腰三角形的三角关系：
设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°
—2∠B，
180︒-∠A
2∠B=∠C=
注意问题归纳：
等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题，并证明角相
等的问题。
【例1】已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（）A．7B．8C．6或8D．7或8【答案】D．
2.三角形三边关系．归纳2：
等边三角形基础知识归纳：
1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
3.判定
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形.基本方法归纳：
线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；
到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的
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