二面角的练习含答案.doc
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二面角复习
【基础训练】
（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为____；
（2）将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，
则二面角A-BD-C的余弦值是______；
（3）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC
所成的为30°，则二面角C1—BD1—B1的大小为______；
（4）从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C的余弦值是______；
（5）二面角α--β的平面角为120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC
⊥，BD⊥，若AB=AC=BD=1，则CD的长______；
（6）ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，则面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为______。
【例题选讲】：
P
B
α
C
A
E
F
D
例1.空间三条射线CA、CP、CB，∠PCA=∠PCB=600，∠ACB=900，求二面角B-PC-A的大小。
D
α
C
B
A
H
例2.如图：
Rt∠ABC中，斜边AB在平面α内，Cα,AC、BC与α所成角分别为450和300，求平面ABC与α所成角。
例3.如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
B
A
C
A1
B1
C1
D
例4.正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为a，D为CC1的中点，过A、B1、D作截面，求此截面与底面A1B1C1所成角。
例5.如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD1和AD所成的角；
③求二面角C1—BD1—B1的大小。
例6 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．
【巩固练习】
1.如图1—122，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？
2．已知：
如图1—126，二面角α—AB—β为30°，P∈α，P到平面β的距离为10cm．求P到AB的距离．
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．
4.如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．
5.已知：
如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．
求：
平面APB与平面CPD相交B
A
C
A1
B1
C1
D
所成较大的二面角的余弦值．
6．如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点。
（1）求异面直线B1O与AM所成角的大小。
（2）求二面角B1—MA—C的正切值。
（14分）
7．在正方体AC1中，E为BC中点
（1）求证：
BD1∥平面C1DE；
（2）在棱CC1上求一点P，使平面A1B1P⊥平面C1DE；
（3）求二面角B—C1D—E的余弦值。
（14分）
【参考答案】
（答：
）（答：
）（答：
）（答：
）（答：
2）（答：
）
P
B
α
C
A
E
F
D
解：
过PC上的点D分别作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连EF，∴∠EDF为二面角B-PC-A的平面角，设CD=a，∵∠PCA=∠PCB=600，
∴CE=CF=2a，DE=DF=，
又∵∠ACB=900，∴EF=，
∴∠EDF=，
解：
过点C作CD⊥α于D，连AD、BD，∴∠DAC和∠CBD分别为AC、BC与α所成角，即∠DAC=450，
∠CBD=300，过点D作DH⊥AB于H，连CH，∴CH⊥AB，即∠CHD为平面ABC与α所成角，设CD=a，∴AC=，BC=2a，AB=，CH=，∠CHD=600，即为平面ABC与α所成的角。
（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）
这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．
如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．
由特征
（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．
另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．
在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，
解：
已知CD=100米，设DH垂直于过BC的水平平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度．在平面DBC内，过点D作DG⊥BC，垂足是G，连结GH．
∵DH⊥平面BCH，DG⊥BC，
∴GH⊥BC．
因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH＝60°，由此得：
≈43.3（米）．
答：
沿直道前进100米，升高约43.3米．
注：
在解题中要特别注意书写规范．如：
∵DG⊥BC，GH⊥BC，
∴∠DGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角．解：
在β内作点P的射影O，过点P作PQ⊥AB于Q，连结OQ，根据三垂线定理，可得OQ⊥AB．
∴∠PQO为二面角α—AB—β的平面角，即∠PQO＝3O°．
∵PO＝10cm，
∴PQ＝20cm．
即P到AB的距离为20cm．
分析：
在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．
略解：
如图10．
在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．
延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱．
在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，
则∠HKE为所求二面角的平面角．
在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．
又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：
所求二面角大小的正切值
分析：
为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．
解：
因为 AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD．
所以 AB∥平面CPD．
又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，
因此 平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．
所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．
因为 AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，
所以 AB∥l．
过P作PE⊥AB，PE⊥CD．
因为 l∥AB∥CD，
因此 PE⊥l，PF⊥l，
所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．
因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，
因为 E，F分别是AB，CD的中点，
所以 EF=BC=a．
在△EFP中，
19．
（1）
方法二：
取AD中点N，连结A1N，则A1N是B1O在侧面ADD1A1上的射影.
易证AM⊥A1N
∴AM⊥B1O（三垂线定理）
（2）连结MB1，AB1，MC，过O作OH⊥AM于H点，连结B1H，
∵B1O平面MAC，∴∠B1HO就是所求二面角B1—MA—C的平面角.
20．证
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