，则在上的最大值为
A．a
B．0
C．-a
D．2016
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．若实数x，y满足，则的最大值是__________。
14．已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=2，PB=PC=1，则三棱锥P-ABC的内切球半径为__________。
15．已知圆与抛物线的准线交于A、B两点，且，则m的值为__________。
16．已知ΔABC满足，，点M在ΔABC外，且MB=2MC=2，则MA的取值范围是__________。
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知数列满足，且，。
（1）求证：
数列是等比数列；
（2）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围。
18．（本小题满分12分）
在某批次的某种日光灯管中，随机地抽取500个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下。
根据寿命将灯管分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯管是优等品，寿命小于300天的灯管是次品，其余的灯管是正品。
（1）根据这500个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命；
（2）某人从这个批次的灯管中随机地购买了4个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯管中优等品的个数，求X的分布列和数学期望。
19．（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2。
（1）求证：
BD⊥平面ACFE；
（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：
的离心率为，且点在C上。
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l经过点，且与椭圆C有两个交点A、B，是否存在直线l0：
x=x0（其中x0>2），使得A、B到l0的距离dA、dB满足恒成立？
若存在，求x0的值；若不存在，请说明理由。
21．（本小题满分12分）
已知函数，曲线在x=1处的切线方程为。
（1）求a，b的值；
（2）求函数在上的最大值；
（3）证明：
当x>0时，
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
22．（本小题满分10分）
选修4-1：
几何证明选讲
如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。
设⊙O的半径是r，OM=m。
（1）证明：
；
（2）若r=3m，求的值。
23．（本小题满分10分）
选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是（φ为参数）。
以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：
θ=α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：
与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值。
24．（本小题满分10分）
选修4-5：
不等式选讲
已知函数，不等式的解集为。
（1）求实数m的值；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围。
2016年东北三省三校第一次高考模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
A
C
B
B
B
A
C
D
C
（注：
11题∵e>4，∴D选项也不正确，此题无答案。
建议：
任意选项均可给分）
二、填空题
13．2
14．
15．8
16．3
三、解答题
17．解：
（1）证明：
∵……3分
，所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列；….6分
（Ⅱ）解：
由
（1）知，，由得，即，…9分
设，所以数列为减数列，，
…….12分
18解：
（Ⅰ）平均数为
………….4分
（Ⅱ）的所有取值为．……….5分
由题意，购买一个灯管，且这个灯管是优等品的概率为，且
所以，
，
，
，
．
以随机变量的分布列为：
0
1
2
3
4
……………………….10分
所以的数学期望．…….12分
19.（Ⅰ）证明：
四边形是菱形，
.
平面,平面
.
平面.………….4分
（Ⅱ）解：
如图以为原点，为轴正向，轴过且平行于，建立空间直角坐标系.则
，.…………6分
设平面的法向量为，
则有，即令，.…………8分
由题意解得或.
由，得.…….12分
20.解：
（Ⅰ）由题意得解得所以的方程为.
…….4分
（Ⅱ）存在.当时符合题意.
当直线斜率不存在时，可以为任意值.
设直线的方程为,点,满足：
所以,满足,即.
所以………8分
不妨设，
因为
从而.整理得，即.
综上，时符合题意.…….12分
21.解：
（Ⅰ），由题设得，，，
解得，．…….4分
（Ⅱ）法1：
由（Ⅰ）知，，
故在上单调递增，所以，．
法2：
由（Ⅰ）知，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
所以，在上单调递增，所以，．…….7分
（Ⅲ）因为，又由（Ⅱ）知，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：
当时，的图象恒在切线的上方．
下证：
当时，．
设，则，
由（Ⅱ）知，在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以，存在，使得，
所以，当时，；当，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，当且仅当时取等号．
故．
由（Ⅱ）知，，故，当且仅当时取等号．
所以，．
即．所以，，
即成立，当时等号成立．…….12分
22.解：
（Ⅰ）作交于点，作交于点.
因为，，
所以.
从而.
故……5分
（Ⅱ）因为，，
所以.
因为
所以.
又因为，所以．…………….10分
23.解：
（Ⅰ）直线的极坐标方程分别是.
圆的普通方程分别是，
所以圆的极坐标方程分别是.…….5分
（Ⅱ）依题意得，点的极坐标分别为和
所以，，
从而.
同理，.
所以，
故当时，的值最大，该最大值是.…10分
24.解：
（Ⅰ）由已知得，得，即……5分
（Ⅱ）得恒成立
（当且仅当时取到等号）
解得或
故的取值范围为或……10分
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