成都市一诊考试数学试题及答案word理科.docx
《成都市一诊考试数学试题及答案word理科.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《成都市一诊考试数学试题及答案word理科.docx(15页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
理科
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合R,,则
(A)(B)(C)(D)
(2)命题“若,则”的否命题是
(A)若,则≤
(B)若≤,则≤
(C)若,则
(D)若≤,则≤
(3)执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为0,那么输入的为
(A)(B)-1或1(C)1(D)-1
(4)已知双曲线的左,右焦点分别为,曲线上一点P满足轴,若,则该双曲线的离心率为
(A)(B)(C)(D)3
(5)已知为第二象限角,且,则的值为
(A)(B)(C)(D)
(6)的展开式中的系数为
(A)(B)5(C)(D)
(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的外接球的表面积为
(A)(B)(C)(D)
(8)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有点向右平移个单位长度,得到函数的图象,则该图象的一条对称轴方程是
(A)(B)(C)(D)
(9)在直三棱柱中,平面与棱分别交于点,且直线平面,有下列三个命题:
①四边形是平行四边形;②平面∥平面;③平面平面.其中正确的命题有
(A)①②(B)②③(C)①③(D)①②③
(10)已知是圆上的两个动点,,.若是线段的中点,则的值为
(A)3(B)(C)2(D)
(11)已知函数是定义在R上的偶函数,且,当时,,则关于的方程在上的所有实数解之和为
(A)-7(B)-6(C)-3(D)-1
(12)已知曲线在点处的切线与曲线也相切,则的值为
(A)(B)(C)2(D)8
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
(13)若复数(其中R,为虚数单位)的虚部为,则.
(14)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):
“幂势既同,则积不容异”.“势”即是高,“幂”是面积.意思是,如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中,图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上底为1的梯形,且当实数取上的任意值时,直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等,则图1的面积为.
(15)若实数满足约束条件,则的最小值为.
(16)已知中,,的面积为,若线段BA的延长线上存在点D,使,则.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知数列满足.
(I)证明数列是等比数列;
(II)求数列的前项和.
(18)(本小题满分12分)
某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制,发布成绩使用等级制.各等级划分标准为:
85分及以上,记为A等;分数在内,记为B等;分数在内,记为C等;60分以下,记为D等.同时认定A,B,C为合格,D为不合格.已知甲,乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内,为了比较两校学生的情况,分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示,作出乙校的样本中等级为C,D的所有数据的茎叶图如图2所示.
(I)求图中x的值,并根据样本数据比较甲乙两校的合格率;
(II)在选取的样本中,从甲,乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研,用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生
人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
(19)(本小题满分12分)
如图1,正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,BD与EF交于点H,G为BD中点,点R在线段BH上,且,现将分别沿折起,使点A,C重合于点B(该点记为P),如图2所示.
(I)若,求证:
平面;
(II)是否存在正实数,使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆的右焦点为,记直线与轴的交点为,过点且斜率为k的直线与椭圆交于两点,点为线段的中点.
(I)若直线的倾斜角为,求的面积的值;
(II)过点B作直线于点,证明:
A,M,N三点共线.
(21)(本小题满分12分)
已知函数.
(I)当时,求函数的单调区间;
(II)当时,若存在≥,使成立,求的最小值.
请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
(22)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
(Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点P(1,0),点的极坐标为,直线经过点M且与曲线相交于两点,设线段的中点为Q,求的值.
(23)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数≥.
(Ⅰ)求不等式≤的解集;
(Ⅱ)若的最小值为,正数满足,求的最小值.
文科
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合R,,则
(A)(B)(C)(D)
(2)命题“若,则”的逆命题是
(A)若,则≤(B)若≤,则≤
(C)若,则(D)若≤,则≤
(3)双曲线的离心率为
(A)4(B)(C)(D)
(4)已知为锐角,且,则
(A)(B)(C)(D)
(5)执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为0,那么输入的为
(A)(B)-1或1(C)-1(D)1
(6)已知x与y之间的一组数据:
x
1
2
3
4
y
m
3.2
4.8
7.5
若y关于x的线性回归方程为,则m的值为
(A)1(B)0.85(C)0.7(D)0.5
(7)定义在R上的奇函数满足,当时,,则
(A)(B)(C)(D)
(8)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的所有棱中,最长的棱的长度为
(A)(B)(C)(D)
(9)将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数的图象,则该图象的一个对称中心是
(A)(B)(C)(D)
(10)在直三棱柱中,平面与棱分别交于点,且平面,有下列三个命题:
①四边形是平行四边形;②平面∥平面;③平面平面.其中正确的命题有
(A)①②(B)②③(C)①③(D)①②③
(11)已知是圆上的两个动点,,,若点是的中点,则的值为
(A)3(B)(C)2(D)
(12)已知曲线在点处的切线与曲线也相切,则的值为
(A)(B)(C)(D)
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
(13)复数(为虚数单位)的虚部为.
(14)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):
“幂势既同,则积不容异”.“势”即是高,“幂”是面积.意思是,如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中,图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个矩形,且当实数取上的任意值时,直线被图1和图2所截得的线段长始终相等,则图1的面积为.
(15)若实数满足约束条件,则的最大值为.
(16)已知中,,的面积为,若线段BA的延长线上存在点D,使,则.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制,发布成绩使用等级制.各等级划分标准为:
85分及以上,记为A等;分数在内,记为B等;分数在内,记为C等;60分以下,记为D等.同时认定A,B,C为合格,D为不合格.已知甲,乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内,为了比较两校学生的情况,分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示,作出乙校的样本中等级为C,D的所有数据的茎叶图如图2所示.
(I)求图中x的值,并根据样本数据比较甲乙两校的合格率;
(II)在乙校的样本中,从成绩等级为C,D的学生中随机抽取2名学生进行调研,求抽出的2名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率.
(18)(本小题满分12分)
在等比数列中,,且成等差数列.
(I)求数列的通项公式;
(II)求数列的前项和.
(19)(本小题满分12分)
如图1,正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,BD与EF交于点H,点G,R分别在线段DH,HB上,且,将分别沿折起,使点A,B,C重合于点P,如图2所示.
(I)求证:
平面;
(II)若正方形ABCD的边长为4,求三棱锥的内切球的半径.
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆的右焦点为,记直线与轴的交点为,过点且斜率为k的直线与椭圆交于两点,点为线段的中点.
(I)若直线的倾斜角为,求的值;
(II)设直线交直线于点,证明:
直线.
(21)(本小题满分12分)
已知函数,.
(I)若,求的单调区间;
(II)当时,求使不等式恒成立的最大整数的值.
请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
(22)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
(Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点P(1,0),点的极坐标为,直线经过点M且与曲线相交于两点,设线段的中点为Q,求的值.
(23)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数≥.
(Ⅰ)求不等式≤的解集;
(Ⅱ)若的最小值为,正数满足,求的最小值.
参考答案理科
一、选择题
1.B;2.D;3.D;4.B;5.B;6.C;7.B;8.D;9.C;10.A;11.A;12.D.
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.(I),·························1分
,············3分
···············································4分
是以为首项,为公比的等比数列.··················5分
(II)由(I)可知,···················7分
当时,,;·······················8分
当时,,
····································9分
·····················11分
又时,上式也满足,
,···………………………………………··12分
18.(I)由题意可知,,
··············································2分
甲学校的合格率为··························3分
而乙学校的合格率为···························4分
甲、乙两校的合格率均为·····························5分
(II)样本中甲校等级的学生人数为人·········6分
而乙校等级的学生人数为人,
随机抽取人中,甲校学生人数的可能取值为······7分
,,
,
的分布列为
··············11分
数学期望········………………···········12分
19.(I)由题意可知,三条直线两两垂直······················1分
平面,·····················································2分
在图1中,,为的中点,又为的中点,··4分
所以在图2中,,且,
在中,·······················5分
平面·······························6分
(II)由题意,分别以为轴建立空间直角坐标系,
设,则,·····7分
,,
·······8分
又因为,
设平面的一个法向量为,············9分
则,取,
直线FR与平面DEF所成角的正弦值为,
·······11分
,或(舍)
故存在正实数,使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为.······12分
20.(I)由题意,设,…………………1分
直线的倾斜角为,,
方程为,即,………2分
代入椭圆方程可得,,…………………………………………3分
,………………………4分
所以
.6分
(II)设直线的方程为,
代入椭圆方程得:
,………………………………8分
则,……………………9分
直线于点,,
而
,………………11分
,故三点共线.……………………………12分
21.(I)由,
得.…………………………………………………1分
当,即时,对恒成立,
此时,的单调递增区间为,无单调递减区间.………2分
当即时,
由,得,由,得,
此时,的单调递减区间为,单调递增区间为.…3分
综上所述,
当时,的单调递增区间为,无减区间;
当时,的单调递减区间为,单调递增区间为.…………4分
(II)由,得,
当时,上式等价于,…………………………………5分
令,
据题意,存在,使成立,只需…6分
∵,…7分
又令,显然在上单调递增,
而,
存在,使,即,…………………………9分
而当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
当时,有极小值(也是最小值)
,………………10分
,即,即,
.………11分
又,且,的最小值为.………………12分
22.(Ⅰ)∵直线的参数方程为:
(为参数),
∴直线的普通方程为………………………2分
由得,即.
∴曲线的直角坐标方程为.··············4分
(Ⅱ)∵点的极坐标为,∴点的直角坐标为.·········5分
,直线倾斜角为,
直线参数方程为.······7分
代入,得.·····8分
设两点对应参数为,则
.············10分
23.(Ⅰ)当时,;
当时,;·······························1分
∴不等式等价于或,·······2分
或,
······3分
∴原不等式的解集为.···········4分
(Ⅱ)(法一)由(Ⅰ)得,可知的最小值为,
.··················6分
∴据题意知,,变形得.·················7分
,
.·····9分
当且仅当,即时,取等号,
的最小值为.·······················10分
(法二)由,
当且仅当即时取最值,
.···················6分
(以下与法一同)