第一轮复习自己整理绝对经典2016立体几何理科--第一轮.doc
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立体几何题型总结（2015版理科）
重要定理：
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.
直线和平面平行性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
平面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
两个平面垂直性质判定：
如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.
两个平面垂直性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.
推论：
如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.
证明：
如图，找O作OA、OB分别垂直于，
因为则.
一：
夹角问题
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.
②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．
异面直线所成角：
范围：
（1）平移法：
在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形；解三角形求出角。
（常用到余弦定理）
（2）补形法：
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；
（3）向量法。
转化为向量的夹角（计算结果可能是其补角）
直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。
通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；
向量法：
设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有的求法
二面角的平面角，
（1）定义法：
在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。
（2）三垂线法：
（三垂线定理法：
A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。
）
向量法：
设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．
二、空间距离问题
两异面直线间的距离
方法一：
转化为线面距离。
如图，m和n为两条异面直线，且，则异面直m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。
方法二：
高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算,直接计算公垂线段的长度。
点到直线的距离：
一般用三垂线定理作出垂线再求解；
向量法：
点到直线距离：
在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为
点到平面的距离
方法一：
几何法。
步骤1：
过点P作PO于O，线段PO即为所求。
步骤2：
计算线段PO的长度。
（直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法）
等体积法步骤：
①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.
方法二：
坐标法。
线面距、面面距均可转化为点面距
三、平行与垂直问题
证明直线与平面的平行：
（1）转化为线线平行；
（2）转化为面面平行.
证明平面与平面平行：
（1）转化为线面平行；
（2）转化为线面垂直.
证明线线垂直：
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；
方法
（2）：
用线面垂直实现。
方法（3）：
三垂线定理及其逆定理。
证明线面垂直：
（1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（2）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（3）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（4）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
方法
（1）：
用线线垂直实现。
方法二：
用面面垂直实现。
面面垂直：
方法一：
用线面垂直实现。
方法二：
计算所成二面角为直角。
题型一：
空间几何体的结构、三视图、旋转体、斜二测法
了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。
能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。
能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。
了解空间几何体的不同表示形式。
会画某建筑物的视图与直观图。
例1.将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．
俯视图
例2.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是．
正视图左视图
例3.已知一个正四面体，其三视图均为边长为2的正方形，则这个正四面体的外接球的体积为．
例10：
如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
主视图左视图俯视图
例5：
四棱锥的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图，则四棱锥的表面积为（）
A.B.C.D.
例6：
三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是___________
例7：
如图，斜三棱柱ABC—中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求此三棱柱的侧面积和体积．
例8：
如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：
cm），可知几何体的体积是_________
2
2
主视图
2
2
侧视图
2
1
1
俯视图
真题：
【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:
“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）
（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛
【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）
A．B．C．D．
【2015高考浙江，7】如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（）
A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支
【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则（）
（A）（B）（C）（D）
【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该
三棱锥的表面积是（）
A．B．
C．D．5
【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图
所示，则该几何体的体积为（）
A、B、
C、D、
【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）
A、B、C、D、
【2015高考天津，理10】一个几何体的三视图如右上图所示（单位：
），则该几何体的体积为.
【2015高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是______.
斜二测法：
例9：
一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）
A．B．C．D．
例10：
对于一个底边在轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）
A．倍B．倍C．倍D．倍
例11：
如图，已知四边形ABCD的直观图是直角梯形A1B1C1D1，且A1B1＝B1C1＝2A1D1＝2，
则四边形ABCD的面积为（ ）
A．3 B．3C．6 D．6
例12：
用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）
旋转体：
例13：
下列几何体是旋转体的是（）
ABCD
例14：
如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
真题：
【2015高考山东，理7】在梯形中，，将梯
形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）
（A）（B）（C）（D）
题型二：
定义考察类题型
例15：
已知直线、,平面，则下列命题中假命题是（）
A．若，,则B．若，,则
C．若，,则D．若，,,,则
例16：
给定下列四个命题：
①若一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的平面与这个面相较，则这线平行于交线
②若一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任一直线
③若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行
④若两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两直线垂直
其中，为真命题的是（）
A．和B．和C．和D．和
例17：
已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A．若，m,则m B．
C． D．
例18：
已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题：
①若，则；②若，，则；
③若，则；④若，则；
其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个
例19：
如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）
A、AC⊥SBB、AB∥平面SCD
C、SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D、AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
例20：
已知为不同的平面，A、B、M、N为不同的点，为直线，下列推理错误的是（ ）
A.B.
C.D.且A、B、M不共线重合
真题：
【2015高考福建，理7】若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【2015高考广东，文6】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）
A．至少与，中的一条相交B．与，都相交
C．至多与，中的一条相交D．与，都不相交
【2015高考北京，理4】设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【2015高考安徽，理5】已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）
（A）若，垂直于同一平面，则与平行（B）若，平行于同一平面，则与平行
（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线
（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
题型三：
直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
证明平行的方法：
线线平行：
相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）。
线面平行：
（1）根据定理证明（）；
（2）通过面面平行的性质定理（）
F
A
B
C
P
D
E
面面平行：
（1）平面中分别有两条相交线与平面的两条相交线平行
（2）平面的法向量与平面的法向量平行
例21：
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，
侧面，且，若、分别
为、的中点.
（1）求证：
∥平面；
（2）求证：
平面平面.
例22：
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：
MN平面A1BD.
B
C
A
A1
B1
C1
D
E
例23：
如图，直棱柱中，D，E分别是AB，的中点，=AC=CB=AB。
（Ⅰ）证明：
//
（Ⅱ）求A到面的距离
例24：
如图所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，
∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点，N为BC的中点
（Ⅰ）证明：
直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
例25：
如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：
平面．
例26：
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：
平面MNP∥平面A1BD.
例27：
已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在PA、BD、PD上,且PM：
MA=BN：
ND=PQ：
QD.求证：
平面MNQ∥平面PBC.
N
M
P
D
C
Q
B
A
题型四：
线与面、面与面的垂直的证明方法
三垂线定理：
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条直线垂直。
三垂线逆定理：
如果：
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平面内的射影垂直。
例28：
直三棱柱ABC-A1B1C1中，，E是A1C的中点，且交AC于D，．
D
E
A1
C
B
A
C1
B1
（I）证明：
平面；（II）证明：
平面．
例29：
如图所示，已知四棱锥的底面是菱形；
平面,
，点为的中点．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求证面．
F
G
E
D
C
A
B
A1
B1
D1
C1
·
·
例30：
如图，在棱长为的正方体中，分别
是的中点。
（1）求证：
平面平面；
（2）求证：
平面
A
B
C
C1
B1
A1
D
例31：
如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点.
（Ⅰ）求证：
⊥平面；
（Ⅱ）求证：
平面；
例32：
如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，
M为PC的中点。
（1）求证：
BM∥平面PAD；
（2）在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；
（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
例33：
在如图所示的几何体中，四边形是正方形，,,分别为、的中点，且．
（Ⅰ）求证：
平面;
（Ⅱ）求三棱锥．
例34：
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。
（1）求证：
（2）求证：
平面⊥平面
例35：
如图所示，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
题型五：
空间中的夹角
知识点：
夹角的分类：
线线夹角、线面夹角、面面夹角
三者在计算或证明时的转换关系：
面面线面线线
计算三种夹角的方法：
勾股定理、向量、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤：
①找角，②证明所找的角，
③计算所找角的大小（切记不可找出来之后不证明就开始计算）
异面直线的夹角问题：
例36：
在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，与底面成30°
（1）若为垂足，求证：
；
（2）在
（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的正切值；
例37：
如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点
（1）求证：
MN//平面PAD；
（2）若，，求异面直线PA与MN所成的角的大小
例38：
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，
，且MD=NB=1，E为BC的中点，求异面直线
NE与AM所成角的余弦值
例39：
如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是____________。
例40：
已知正四面体中，各边长均为，如图所示，分别为的中点，连接，求异面直线所成角的余弦值。
例41：
已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．
B
M
A
N
C
S
例42：
已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）
（A）（B）（C）（D）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例43：
如图,在正方体中，分别是的中点。
（1）若为的中点，证明：
平面∥平面
（2）求异面直线与所成的角[来源:
Z+xx+k.Com]
例44：
如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值。
【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。
设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.
【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是．
【2015高考新课标1，理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：
平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
线面夹角：
例45：
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=AD=2，E是PC上的一点，设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。
例46：
如图，直三棱柱中，,D、E分别是，的中点,平面.
（1）证明：
AB=AC
（2）设二面角A-BD-C为，求与平面BCD所成的角的大小
真题：
【2015高考浙江，文18】如图，在三棱锥中，在底
面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.
（1）证明：
；
（2）求直线和平面所成的角的正弦值.
【2014高考，文18】如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，。
（Ⅰ）证明：
平面；
（Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。
【2015高考全国2，理18】如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
题型六：
距离问题：
点线距离（定义法、等体积法、向量法、空间坐标法）；线面距离；面面距离。
例47：
已知正四棱柱的地面边长为1，则棱场为2，点E为的中点，求点到平面BDE的距离。
例48：
已知正四棱柱中，，，为的中点，则直线与平面的距离为（）
A.B.C.D.
例49：
在中,AB=15，，若所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到的距离是（）
A.13B.11C.9D.7
例50：
如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：
直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
例51：
为平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角的大小为，求，点B到平面的距离为_____________
例52：
P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，，，则P到A点的距离是（ ）
A.1 B.2 C.
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