全国2卷数学试卷及参考答案.docx
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。
1．（）
A． B． C． D．
2．已知集合，则中元素的个数为（）
A．9 B．8 C．5 D．4
3．函数的图象大致是（）
4．已知向量满足，，，则（）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．双曲线的离心力为，则其渐近线方程为（）
A． B． C． D．
6．在中，，，，则=（）
A． B． C． D．
7．为计算，设计了右侧的程序框图，
则在空白框中应填入（）
A．
B．
C．
D．
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）
A． B． C． D．
9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
10．若在是减函数，则的最大值是（）
A． B． C． D．
11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（）
A． B． C． D．
12．已知，是椭圆的左、右焦点交点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（）
A． B． C． D．
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点处的切线方程为__________．
14．若满足约束条件，则的最大值为_________．
15．已知，，则__________．
16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为．若的面积为，则该圆锥的侧面积为_________．
三、解答题：
共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题。
每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分）
记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：
亿元）的折线图．
为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量的值依次为）建立模型①：
：
根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：
．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？
并说明理由．
19．（12分）
设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点。
．
（1）求的方程；
（2）求过点且与的准线相切的圆的方程．
20．（12分）
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：
平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
21．（12分）
已知函数．
（1）若，证明：
当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一部分计分。
22．【选修4-4：
坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
23．【选修4-5：
不等式选讲】（10分）
设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
B
B
A
A
B
C
C
A
C
D
12.解：
二、填空题
13.14.915.16.
16.设母线长为a,
三、填空题
17.解：
（1）由可得：
，所以，所以
（2）
18.解：
（1）①，
（2）对于模型①，当年份为2016年时，
对于模型②，当年份为2016年时，
比较而言，②的准确度高，误差较小，所以选择②
19.解：
（1）∵F（1,0），设直线，联立
，∵，∴k=1,所以直线方程
（2）设AB的中点为N（），设圆心为M（a,b），所以圆的半径r=a+1
因为，所以MN的方程为，即
所以，由垂径定理：
即：
解得：
所以圆的方程为：
和
20.证明：
连接BO，因为AB=BC，则BO⊥AC，所以BO=2
又因为在△PAC中，PA=PC=4，所以PO⊥AC，且，因为，
所以PO⊥BO，从而平面；
（2）以为x轴，以为y轴，以为z轴，设，B（2,0,0），C（0,2,0）A（0，-2,0）
P（0,0,），设M（x,y,0）,所以，所以
设平面PAC的法向量为，设平面MPA的法向量为，所以
因为二面角为，所以得
设与平面所成角为，所以
21解：
（1）当a=1,
当，所以
所以，所以
（3）令，令，
当，
所以
①当
②当
③
22.
（1）曲线C的直角坐标方程：
直线L直角坐标方程：
（2）联立与
所以
23.
（1）当时，，所以不等式的解集为
（2）若，则，因为
所以只需要
综上：
a的取值范围为
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