东北育才学校2019年高三第八次模拟考试数学(文)试卷(含答案).doc

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东北育才学校高中部2019年高三第八次模拟

数学试题（文科）

考试时间：

120分钟试卷满分：

150分命题：

高三数学备课组

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知，，则

A.B.C.D.

2.已知复数在复平面上对应的点为，则

A.B.C.D.是纯虚数

3.已知抛物线的焦点在轴负半轴，若，则其标准方程为

A.B.C.D.

4.如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共颗，其中，落在阴影区域内的豆子共颗，则阴影区域的面积约为

A.B.C.D.

5.执行如图所示的算法，则输出的结果是

A. B.C.D.

6.已知向量，，若向量在方向上的

正射影的数量为，则实数

A. B.C.D.

7.若公差为的等差数列的前项和为，则

A.B.C.D.

8.设的三个内角所对的边分别为，

如果，且，那么外

接圆的半径为

A．1B．C.2D．4

9.如图，在三棱柱中，侧棱底面，

底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是

A.与是异面直线B.平面

C.，为异面直线且D.平面

10.已知定义在上的偶函数在上单调递增，则函数的解析式不可能是

A．B.C.D.

11.已知双曲线的两个焦点为、，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为

A．3 B． C． D．1

12.如图，已知直线与曲线相切

于两点，函数，则函数

A.有极小值，没有极大值B.有极大值，没有极小值

C.至少有两个极小值和一个极大值

D.至少有一个极小值和两个极大值

第Ⅰ卷（非选择题共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为

14.已知满足不等式组,

则的最小值是

15.已知数列的前项和为，，

，,则

16.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张．

甲说：

我摸到卡片的标号是10和12；乙说：

我摸到卡片的标号是6和11；

丙说：

我们三人各自摸到卡片的标号之和相等．据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可以得到函数的图象.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调递增区间.

18.（本小题满分12分）

2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：

收看

没收看

男生

60

20

女生

20

20

（Ⅰ）根据上表说明，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？

（Ⅱ）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.

（ⅰ）问男、女学生各选取多少人？

（ⅱ）若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.

附：

，其中.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是长方形，，，,点为线段的中点，点在线段上，且．

（Ⅰ）平面平面；

（Ⅱ）求棱锥的高.

20.（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求的零点；

（Ⅱ）当时，求证：

在区间上为增函数.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为.若点为椭圆上一动点，的内切圆面积的最大值为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程;

（Ⅱ）过点作斜率为的动直线交椭圆于两点，的中点为，在轴上是否存在定点，使得对于任意值均有，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

请考生在22~23中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分12分）【选修4－4：

坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设与交于两点，求．

23.（本小题满分12分）【选修4-5:

不等式选讲】

定义在上的函数..存在实数使成立，

（Ⅰ）求正整数的值:

（Ⅱ）若，且求证，求证.

东北育才学校高中部2019年高三第八次模拟数学（文科）答案

一、选择题

1.B2.D3.C4.D5.A6.A7.B8.A9.C10.B11.D12.C

二、填空题

13.114.15.16.8和9

三、解答题

17.（Ⅰ）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，.………………………4分

……………………6分

（Ⅱ）令

解得

所求单调递增区间为……………………12分18.（Ⅰ）因为，

所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关.………………………4分

（Ⅱ）（ⅰ）根据分层抽样方法得，男生人，女生人，

所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.………………………6分

（ⅱ）设抽取的6名男生分别为，两名女生为甲、乙；

从中抽取两人，分别记为（A，B）,（A，C）,（A，D）,（A,E）,（A,F）,（A,甲），

（A,乙），（B，C）,（B，D）,（B,E）,（B,F）,（B,甲），（B,乙），（C，D）,（C,E）,（C,F）

（C,甲），（C,乙），（D,E）,（D,F）,（D,甲），（D,乙），（E,F）,（E,甲），（E,乙），（F,甲），

（F,乙），（甲,乙），共28种情形，

其中一男一女包括（A,甲），（A,乙），（B,甲），（B,乙），（C,甲），（C,乙），（D,甲），

（D,乙），（E,甲），（E,乙），（F,甲），（F,乙），共12种情形

所以，所求概率.………………………12分

19.解：

（Ⅰ）∵，∴，又，

∴平面，-----3分

又平面，

∴平面平面．………………6分

（Ⅱ）∵平面，

如图，求得.………………8分

………………10分

-----12分

20.解：

（Ⅰ）的定义域为，

令得

当时，方程无解，没有零点；

当时，得.

综上，当时无零点；当时，零点为.

…………………4分

（Ⅱ）

.

令,

则，

其对称轴为，

所以在上单调递增.

所以.

当时，恒成立，

所以在上为增函数.…………………13分

21.解：

（I）由，得

设内切圆半径为，则

又，

当为椭圆的上、下顶点时，的面积最大

，

又

，又，解得

所以所求椭圆的方程为…………………4分

（II）设动直线方程为,点的坐标为，

联立，得

设，则

由已知可得,则

=0

∵对任意的值此方程无解

∴不存在点N使得结论成立.…………………12分

22.解法一：

（1）由得的普通方程为， 1分

又因为，所以的极坐标方程为． 3分

由得，即， 4分

所以的直角坐标方程为． 5分

（2）设的极坐标分别为，则 6分

由消去得， 7分

化为，即， 8分

因为，即，所以，或， 9分

即或所以． 10分

解法2：

（1）同解法一 5分

（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆． 6分

将的参数方程化为标准形式（其中为参数），代入的直角坐标方程为得，，

整理得，，解得或． 8分

设对应的参数分别为，则．所以， 9分

又因为是圆上的点，所以 10分

解法3：

（1）同解法一 5分

（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆． 6分

又由①得的普通方程为， 7分

则点到直线的距离为， 8分

所以，所以是等边三角形，所以， 9分

又因为是圆上的点，所以…………………10分

23.解：

存在实数使成立，

，则

解得，，…………………5分

（II）证明：

由

（1）知，，，，

，同理，

，，即

当且仅当，又，得，时取等号.…………………10分

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