三角函数恒等变换含答案及高考题.doc

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三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：

特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：

sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；配凑角：

α=（α+β）－β，β=－等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asinθ+bcosθ=sin（θ+），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．

解：

因为，又sin2x＋cos2x=1，

联立得

解这个方程组得

2．求的值．

解：

原式

3．若，求sinxcosx的值．

解：

法一：

因为

所以sinx－cosx=2（sinx＋cosx），

得到sinx=－3cosx，又sin2x＋cos2x=1，联立方程组，解得

所以

法二：

因为

所以sinx－cosx=2（sinx＋cosx），

所以（sinx－cosx）2=4（sinx＋cosx）2，

所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，

所以有

4．求证：

tan2x·sin2x=tan2x－sin2x．

证明：

法一：

右边＝tan2x－sin2x=tan2x－（tan2x·cos2x）=tan2x（1－cos2x）=tan2x·sin2x，问题得证．

法二：

左边=tan2x·sin2x=tan2x（1－cos2x）=tan2x－tan2x·cos2x=tan2x－sin2x，问题得证．

5．求函数在区间[0，2p]上的值域．

解：

因为0≤x≤2π，所以由正弦函数的图象，

得到

所以y∈[－1，2]．

6．求下列函数的值域．

（1）y＝sin2x－cosx+2；

（2）y＝2sinxcosx－（sinx＋cosx）．

解：

（1）y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－（cos2x＋cosx）＋3，

令t=cosx，则

利用二次函数的图象得到

（2）y＝2sinxcosx－（sinx＋cosx）=（sinx＋cosx）2－1－（sinx＋cosx），令t=sinx＋cosx，，则则，利用二次函数的图象得到

7．若函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于（6，0），求这个函数的一个解析式．

解：

由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以

又由，得到可以取

8．已知函数f（x）=cos4x－2sinxcosx－sin4x．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若求f（x）的最大值、最小值．

数的值域．

解：

（Ⅰ）因为f（x）=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝（cos2x－sin2x）（cos2x＋sin2x）－sin2x

所以最小正周期为π．

（Ⅱ）若，则，所以当x=0时，f（x）取最大值为当时，f（x）取最小值为

1．已知，求

（1）；

（2）的值.

解：

（1）；

（2）

.

说明：

利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

2．求函数的值域。

解：

设，则原函数可化为

，因为，所以

当时，，当时，，

所以，函数的值域为。

3．已知函数。

（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；

（2）证明：

函数的图像关于直线对称。

解：

（1）所以的最小正周期，因为，

所以，当，即时，最大值为；

（2）证明：

欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，

因为，

，

所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

4．已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：

（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=（2cos2x－1）++（2sinx·cosx）+1

=cos2x+sin2x+=（cos2x·sin+sin2x·cos）+

=sin（2x+）+

所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin（x+）的图像；

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图像；

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图像；

（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）+的图像。

综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。

历年高考综合题

一，选择题

1.（08全国一6）是（）

A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数

2.（08全国一9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（）

A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

3.（08全国二1）若且是，则是（）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

4.（08全国二10）．函数的最大值为（）

A．1B．C．D．2

5.（08安徽卷8）函数图像的对称轴方程可能是（）

A． B． C． D．

6.（08福建卷7）函数y=cosx（x∈R）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）

A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx

7.（08广东卷5）已知函数，则是（）

A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数

C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数

8.（08海南卷11）函数的最小值和最大值分别为（）

A.－3，1 B.－2，2 C.－3， D.－2，

9.（08湖北卷7）将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是（）

A.B.C.D.

10.（08江西卷6）函数是（）

A．以为周期的偶函数B．以为周期的奇函数

C．以为周期的偶函数D．以为周期的奇函数

11.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）

A．1 B． C． D．2

12.（08山东卷10）已知，则的值是（）

A． B． C． D．

13.（08陕西卷1）等于（）

A． B． C． D．

14.（08四川卷4）（）

Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.

15.（08天津卷6）把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）

A． B．

C． D．

16.（08天津卷9）设，，，则（）

A． B． C． D．

17.（08浙江卷2）函数的最小正周期是（）

A.B.C.D.

18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（）

A.0B.1C.2D.4

二，填空题

19.（08北京卷9）若角的终边经过点，则的值为．

20.（08江苏卷1）的最小正周期为，其中，则=．

21.（08辽宁卷16）设，则函数的最小值为．

22.（08浙江卷12）若，则_________。

23.（08上海卷6）函数f（x）＝sinx+sin（+x）的最大值是

三，解答题

24.（08四川卷17）求函数的最大值与最小值。

25.（08北京卷15）已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．

26.（08天津卷17）已知函数（）的最小值正周期是．（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．

27.（08安徽卷17）已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程

（Ⅱ）求函数在区间上的值域

28.（08陕西卷17）已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

1.D2.C3.C4.B5.B6.A7.D8.C9.A10.A

11.B12.C13.B14.D15.C16.D17.B18.C

19.20.1021.22.23.2

24.解：

由于函数在中的最大值为

最小值为

故当时取得最大值，当时取得最小值

【点评】：

此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；

【突破】：

利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；

25.解：

（Ⅰ）

．

因为函数的最小正周期为，且，

所以，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

因为，

所以，

所以，

因此，即的取值范围为．

26.解：

由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为

27.解：

（1）

（2）

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，取最大值1

又，当时，取最小值

所以函数在区间上的值域为

28.解：

（Ⅰ）．

的最小正周期．

当时，取得最小值；当时，取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．

．

．

函数是偶函数．

常用三角恒等变换技巧

1“角变换”技巧

角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。

例1已知，，求的值。

【分析】考虑到“已知角”是，而“未知角”是和，注意到，可直接运用相关公式求出和。

【简解】因为，所以，

又因为，所以，

，

从而，.原式=.

【反思】

（1）若先计算出，则在计算时，要注意符号的选取；

（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出和.但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由，运用诱导公式和倍角公式求出。

例2已知，其中，求证：

【分析】所给条件中出现的“已知角”是与，涉及的“未知角”是与，将三个角比较分析发现，，把“未知”角转化为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解。

【简证】

【反思】

（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；

（2）本题也可由已知直接求出与的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。

常用的角变换关系还有：

，，，，，等.

2“名变换”技巧

名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。

例3已知向量，，求的定义域和值域；

【分析】易知，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。

【简解】

由得，，

所以，.的定义域是，值域是.

【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.

例4已知都是锐角，且，求的值。

【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.

【简解1】显然时，，

因为都是锐角，所以，

所以，.

【简解2】由得，，

设，则

，

所以，，，即.

【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元.

3“常数变换”技巧

在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如，，等.

例5

（1）求证:

；

（2）化简：

.

【分析】第

（1）小题运用和把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第

（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.

【简解】

（1）左边=

.

（2）原式=

【反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了，把分式变成了整式.

4“边角互化”技巧

解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.

例6在中，分别为角的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，

（1）求角的大小；

（2）若，证明是等腰三角形.

【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。

【简解】

（1）（角化边）由正弦定理得，

，整理得，，

所以，因为，所以.

（2）法一：

（边化角）由已知和正弦定理得，

即，从而，

又，所以.

所以，是等腰三角形.

法二：

由

（1）知，，代入得，

，所以，，

所以，，是等腰三角形.

【反思】第

（1）小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构，第

（2）小题的法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件化为边的关系，而把条件转化为边的关系却很容易；法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.

5“升降幂变换”技巧

当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降幂”技巧，常见的公式有：

，，，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”.

例7化简：

【分析】含有根号，需“升幂”去根号.

【简解】原式=

=

因为，所以，，

所以，原式.

例8求函数，的最大值与最小值．

【分析】函数式中第一项是正弦的平方，若“降幂”后“角变倍”，与第二项的角一致..

【简解】

．

又，，即，

．

【反思】以上两例表明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合各种技巧与方法才能顺利地解题。

如例7中用到了常数“变换技巧”，例8中用到了“辅助角”变换技巧.

6“公式变用”技巧

几乎所有公式都能变形用或逆向用，如，，等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧.

例9求值：

（1）；

（2）。

【分析】第

（1）小题中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第

（2）小题中两角差为，而是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。

【简解】

（1）原式＝。

（2）原式＝＝。

【反思】第

（1）小题的一般性结论是：

.

例10求证：

。

【分析】左边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、差角公式中出现了两角正切的积，可尝试.

【简证】因为，

所以，

左边=

=

【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求和的一种常见技巧.

7“辅助角变换”技巧

通常把叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代数和化为的形式，来研究其图象与性质.尤其是当，，时，要熟记其变换式，如，等.

例11求函数的值域.

【分析】初看此题，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了，然后利用三角函数的有界性建立关于y的不等式.

【简解】由得，所以，

从而，

其中辅助角由，决定.

所以，由解得.

【反思】

（1）解答本题的方法很多，比较多用的方法是类比斜率计算公式，把问题转化为直线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数求解的.

（2）辅助角公式的形成，也可以看成是“常数变换”的结果.事实上，=，可设，再进行“切化弦”变换，就得到了“化一公式”..

8“换元变换”技巧

有些函数，式子里同时出现（或）与，这时，可设（或），则（或），把三角函数转化为熟悉的函数来求解.

例12求函数的值域．

【分析】同时出现与时，可用.

【简解】设，因为，，所以，

又由得，，

　　　所以，，

由得，.

【反思】

（1）本题若不换元，则需要用到“添、凑、配”技巧，而怎样进行“添、凑、配”，则是因题而异，无明显特征.；

（2）引进“新元”后，一定要说明“新元”的取值范围；（3）平方关系的变式应用广泛，如在解答命题“已知，是方程的两根，求的值．”时，关键步骤是在运用韦达定理后，利用变式消元后求解。

例13求证：

。

【分析】所证等式中每个分式与两角差的正切相似，而所证等式与三角形中的结论

相似，从而尝试换元，利用三角知识证代数问题。

【简解】设，因为，

所以，，

变形整理得

所以，

即，

【反思】本题解法也体现了类比思维的作用，若用常规方法处理，则运算十分繁琐.

9“万能置换”技巧

“万能置换”技巧，实际从属于“名变换”技巧，其特征是用半角的正切值表示原角的正弦、余弦与正切.

例14讨论函数的最大值与最小值.

【分析】本题可通过求导或利用基本不等式求解.但类比函数式的结构与万能置换公式相同，于是问题得到转化.

【简解】设，则，

当且仅当也就是时，，

当且仅当也就是时，.

【反思】

（1）当问题条件中出现单角的正切与倍角三角函数问题时，可考虑使用万能置换公式；

（2）运用万能置换技巧既可以把代数问题转化成三角函数问题，也可以把三角问题转化为代数问题，如例11中，可设，则，即

，然后可用判别式法求解.