数列中的奇偶项问题.doc

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数列中的奇偶项问题

例1、已知数列满足：

，设.

（1）求并证明：

（2）①证明：

数列等比数列；②若成等比数列，求正整数k的值.

例2、设等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且，．

（I）求数列,的通项公式；

（II）设，求数列的前项和．

3、一个数列{an}，当n是奇数时，an＝5n＋1；当n为偶数时，an＝，则这个数列的前2m项的和是________．

练习

1．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为（　　）

A．10B．20C．30D．40

2、等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则这个等比数列的项数为

（A）（B）（C）（D）

3、已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f（x）＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝________.

4、已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝（　　）

A．2B．4C．5D.

5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n（n∈N*），设Sn是数列{an}的前n项和，则S2014＝（　　）

A．22014－1B．3×21007－3C．3×21007－1D．3×21007－2

6.于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

7、（2013·天津高考）已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且－2S2，S3,4S4成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明Sn＋≤（n∈N*）．

8、已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.

①求数列{an}的通项公式；

②是否存在正整数n，使得Sn≥2013？

若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

解：

（1）

（2）①因为所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列.

②由数列可得，，则，

因为成等比数列，所以，令，得，解得，得.

解：

（Ⅰ）由题意，，得．…………3分

，，

，两式相减，得

数列为等比数列，．…………7分

（Ⅱ）．当为偶数时，

=．

当为奇数时，（法一）为偶数，

（法二）

．

解析：

当n为奇数时，{an}是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n为偶数时，{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，

S2m＝S奇＋S偶＝ma1＋×10＋＝6m＋5m（m－1）＋2（2m－1）

＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2＝2m＋1＋5m2＋m－2.

解析：

选A　设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：

偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.

解析：

∵an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2n，∴an＋1·an＋2＝2n＋1，∴an＋2＝2an.

又∵a1＝1，a1·a2＝2，∴a2＝2，∴a2n＝2n，a2n－1＝2n－1（n∈N*），∴b10＝a10＋a11＝64.

解析：

选B　依题意得＝＝2，即＝2，故数列a1，a3，a5，a7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此＝4.

解析：

选B　由＝＝＝2，且a2＝2，得数列{an}的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S2014＝（a1＋a3＋a5＋…＋a2013）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a2014）＝＋＝3×21007－3.

对比：

an＋1/an＝2n则用累乘法，

解析：

∵an＋1－an＝2n∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1

＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.

[解题指导]　

（1）利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；

（2）求出前n项和，根据函数的单调性证明．

[解]　

（1）设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.

又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝（－1）n－1·.

（2）证明：

Sn＝1－n，Sn＋＝1－n＋＝

当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S1＋＝.

当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S2＋＝.

故对于n∈N*，有Sn＋≤.

解析：

①设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.

由题意得

即解得

故数列{an}的通项公式为an＝3×（－2）n－1.

②由①有Sn＝＝1－（－2）n.

若存在n，使得Sn≥2013，则1－（－2）n≥2013，

即（－2）n≤－2012.

当n为偶数时，（－2）n>0，上式不成立；

当n为奇数时，（－2）n＝－2n≤－2012，

即2n≥2012，则n≥11.

综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．

点评：

当数列涉及底数是负数时，要对指数n分奇偶讨论。