抛物线性质归纳、证明和应用.doc
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抛物线性质归纳、证明和应用
抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线．抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例．
一、焦半径、焦点弦性质
如图，AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，AD、BC是准线的垂线，垂足分别为D、C，M是CD的中点，N是AB的中点．设点A（x1，y1）、点B（x2，y2），直线AB交y轴于点K（0，y3），则：
K（0，y3）
C
M
D
B（x2，y2）
R
O
F（，0）
A（x1，y1）
x
y
H
G
x＝－
q
N
Q
⑴①y1y2＝－p2；②x1x2＝；③＋＝；
④|AB|＝x1＋x2＋p＝（q为AB的倾斜角）；
⑤S△OAB＝，S梯形ABCD＝..
⑵＋＝；
⑶∠AMB＝∠DFC＝Rt∠；
⑷AM、BM是抛物线的切线；
⑸AM、BM分别是∠DAB和∠CBA的平分线；
⑹AM、DF、y轴三线共点，BM、CF、y轴三线共点；
⑺A、O、C三点共线，B、O、D三点共线；
⑻若|AF|：
|BF|＝m：
n，点A在第一象限，
q为直线AB的倾斜角.则cosq＝；
⑼以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；
以AB为直径的圆与准线相切.
⑽MN交抛物线于点Q，则，Q是MN的中点.
★⑴①y1y2＝－p2；②x1x2＝；③＋＝
④|AB|＝x1＋x2＋p＝（q为AB的倾斜角）；⑤S△OAB＝，S梯形ABCD＝.
【证明】设过焦点F（，0）的AB的直线方程为x＝my＋，代入抛物线方程y2＝2px得
y2－2pmy－p2＝0，因此
C
D
B（x2，y2）
R
A（x1，y1）
x
y
O
F（，0）
q
图1
①y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm.
另由⑶得在Rt△CFD中，FR⊥CD，
有|RF|2＝|DR|·|RC|，
而|DR|＝|y1|，|RC|＝|y2 |，|RF|＝p，且y1y2＜0
∴y1y2＝－p2.
②又点A、B在抛物线上，有x1＝，x2＝，
因此x1x2＝·＝＝.
③＋＝＝＝－，
在直线AB方程x＝my＋中令x＝0，得y3＝－，代入上式得＋＝
④【证法一】根据抛物线的定义，|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p
又|AB|＝＝|y2－y1|
＝
＝＝2p（1＋m2）
当m≠0时，m＝＝＝，有
1＋m2＝1＋＝（k为直线AB的斜率）
C
D
B（x2，y2）
R
A（x1，y1）
x
y
O
q
A1
B1
F
图2
当m＝0时，q＝90°，1＋m2＝1也满足1＋m2＝
∴|AB|＝2p（1＋m2）＝.
【证法二】如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为
A1、B1，那么|RF|＝|AD|－|FA1|＝|AF|－|AF|cosq，
∴|AF|＝＝
同理，|BF|＝＝
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝.
【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为r＝，则
|AF|＝r1＝，|BF|＝r2＝＝.
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝.
⑤S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝|OF||y1|＋|OF||y1|＝··（|y1|＋|y1|）
∵y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，|y1|＋|y1|＝|y1－y2|
∴S△OAB＝|y1－y2|＝＝＝＝.
又∵|CD|＝|AB|sinq＝，|AD|＋|BC|＝|AB|＝.
∴S梯形ABCD＝（|AD|＋|BC|）·|CD|＝××＝.
【例1】（2001年新课程高考文）设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·＝ （）
A. B.－ C.3 D.－3
【解】设A（x1，y1），B（x2，y2），则·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－，故选B.
【例2】（2009年福建理）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝.
【解】由性质⑴得|AB|＝＝＝8，∴p＝＝4.
★⑵＋＝
【证法一】由⑴x1x2＝，且|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋.
∴＋＝＋＝＝
＝＝＝
【证法二】由|AF|＝r1＝，|BF|＝r2＝＝.
∴＋＝＋＝＋＝
【例3】（2000全国）过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则＋等于 （）
A.2a B. C.4a D.
【解】由y＝ax2得x2＝y，（抛物线焦点到准线的距离为），由此得＋＝4a，故选C.
C
D
B（x2，y2）
R
A（x1，y1）
x
y
O
F
E
N
M
图3
★⑶∠AMB＝∠DFC＝Rt∠，先证明：
∠AMB＝Rt∠
【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则
△ADM≌△ECM，
∴|AM|＝|EM|，|EC|＝|AD|
∴|BE|＝|BC|＋|CE|＝|BC|＋|AD|
＝|BF|＋|AF|＝|AB|
∴△ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，
∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠
【证法二】取AB的中点N，连结MN，则
|MN|＝（|AD|＋|BC|）＝（|AF|＋|BF|）＝|AB|，∴|MN|＝|AN|＝|BN|
∴△ABM为直角三角形，AB为斜边，故∠AMB＝Rt∠.
【证法三】由已知得C（－，y2）、D（－，y1），由此得M（－，）.
∴kAM＝＝＝＝＝，同理kBM＝
∴kAM·kBM＝·＝＝＝－1
∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.
【证法四】由已知得C（－，y2）、D（－，y1），由此得M（－，）.
C
D
B
R
A
x
y
O
F
图4
1
2
3
4
M
∴＝（x1＋，），＝（x3＋，）
∴·＝（x1＋）（x2＋）＋
＝x1x2＋（x1＋x2）＋－
＝＋（＋）＋－
＝＋＝＋＝0
∴⊥，故∠AMB＝Rt∠.
【证法五】由下面证得∠DFC＝90°，连结FM，则FM＝DM.
又AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图4
∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4
图5
C
D
B（x2，y2）
R
A（x1，y1）
x
y
O
F（，0）
a
a
a
b
b
b
∴∠2＋∠3＝×180°＝90°
∴∠AMB＝Rt∠.
接着证明：
∠DFC＝Rt∠
【证法一】如图5，由于|AD|＝|AF|，AD∥RF，
故可设∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝a，
同理，设∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝b，
而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180°
∴2（a＋b）＝180°，即a＋b＝90°，故∠DFC＝90°
C
D
B（x2，y2）
R
A（x1，y1）
x
y
O
F
M
图6
G
H
D1
【证法二】取CD的中点M，即M（－，）
由前知kAM＝，kCF＝＝＝
∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DF
∴∠DFC＝∠AMB＝90°.
【证法三】∵＝（p，－y1），＝（p，－y2），
∴·＝p2＋y1y2＝0
∴⊥，故∠DFC＝90°.
【证法四】由于|RF|2＝p2＝－y1y2＝|DR|·|RC|，即＝，且∠DRF＝∠FRC＝90°
∴△DRF∽△FRC
∴∠DFR＝∠RCF，而∠RCF＋∠RFC＝90°
∴∠DFR＋∠RFC＝90°
N1
N
M
x
y
O
F
图7
M1
l
∴∠DFC＝90°
【例4】（2009年湖北文）如图7，过抛物线y2＝2px（P＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1，求证：
FM1⊥FN1
C
D
B（x2，y2）
R
A（x1，y1）
x
y
O
F
M
图8
D1
★⑷AM、BM是抛物线的切线
【证法一】∵kAM＝，AM的直线方程为y－y1＝（x－）
与抛物线方程y2＝2px联立消去x得
y－y1＝（－），整理得y2－2y1y＋＝0
可见△＝（2y1）2－4＝0，
故直线AM与抛物线y2＝2px相切，
同理BM也是抛物线的切线，如图8.
【证法二】由抛物线方程y2＝2px，两边对x求导，＝，
得2y·＝2p，＝，故抛物线y2＝2px在点A（x1，y1）处的切线的斜率为k切＝|y＝y1＝.
又kAM＝，∴k切＝kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.
【证法三】∵过点A（x1，y1）的切线方程为y1y＝p（x＋x1），把M（－，）代入
左边＝y1·＝＝＝px1－，
右边＝p（－＋x1）＝－＋px1，左边＝右边，可见，过点A的切线经过点M，
即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线.
C
D
B（x2，y2）
R
A（x1，y1）
x
y
O
F
E
N
M
图9
★⑸AM、BM分别是∠DAB和∠CBA的平分线
【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图9，
则△ADM≌△ECM，有AD∥BC，AB＝BE，
∴∠DAM＝∠AEB＝∠BAM，
即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.
【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角a是直线AM的倾斜角b的2倍即可，即a＝2b.且M（－，）
∵tana＝kAB＝＝＝.
tanb＝kAM＝＝＝＝＝.
∴tan2b＝＝＝＝＝＝tana
∴a＝2b，即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.
★⑹AM、DF、y轴三线共点，BM、CF、y轴三线共点
【证法一】如图10，设AM与DF相交于点G1，
由以上证明知|AD|＝|AF|，AM平分∠DAF，故AG1也是DF边上的中线，
∴G1是DF的中点.
C
D
B（x2，y2）
R
A（x1，y1）
x
y
O
F
M
图10
G
H
D1
设AD与y轴交于点D1，DF与y轴相交于点G2，
易知，|DD1|＝|OF|，DD1∥OF，
故△DD1G2≌△FOG2
∴|DG2|＝|FG2|，则G2也是DF的中点.
∴G1与G2重合（设为点G），则AM、DF、y轴三线共点，
同理BM、CF、y轴也三线共点.
【证法二】AM的直线方程为y－y1＝（x－），
令x＝0得AM与y轴交于点G1（0，），
又DF的直线方程为y＝－（x－），令x＝0得DF与y轴交于点G2（0，）
∴AM、DF与y轴的相交同一点G（0，），则AM、DF、y轴三线共点，
同理BM、CF、y轴也三线共点H．由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.
C
D
B（x2，y2）
R
A（x1，y1）
x
y
O
F
图11
★⑺A、O、C三点共线，B、O、D三点共线
【证法一】如图11，kOA＝＝＝，
kOC＝＝－＝－＝－＝
∴kOA＝kOC，则A、O、C三点共线，
同理D、O、B三点也共线.
【证法二】设AC与x轴交于点O¢，∵AD∥RF∥BC
∴＝＝，＝，
又|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，∴＝
∴|RO¢|＝|O¢F|，则O¢与O重合，即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.
【证法三】设AC与x轴交于点O¢，RF∥BC，＝，
∴|O¢F|＝＝＝＝【见⑵证】
∴O¢与O重合，则即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.
【证法四】∵＝（－，y2），＝（x1，y1），
∵－·y1－x1y2＝－·y1－y2＝－－＝－＋＝0
∴∥，且都以O为端点
∴A、O、C三点共线，同理B、O、D三点共线.
【推广】过定点P（m，0）的直线与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于点A、B，过A、B两点分别作直线l：
x＝－m的垂线，垂足分别为M、N，则A、O、N三点共线，B、O、M三点也共线，如下图：
【例5】（2001年高考）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
C
B（x2，y2）
R
A（x1，y1）
x
y
O
F
图12
【证法一】因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（－，0），所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋；
代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，
∴y1y2＝－p2
因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，故C（－，y2），
C
D
B（x2，y2）
E
A（x1，y1）
x
y
O
F
图13
N
∴直线CO的斜率为kOC＝＝＝＝kOA.
∴直线AC经过原点O.
【证法二】如图13，过A作AD⊥l，D为垂足，则：
AD∥EF∥BC
连结AC与EF相交于点N，
则＝＝，＝
由抛物线的定义可知：
|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|
∴|EN|＝＝＝|NF|.
即N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.
★⑻若|AF|：
|BF|＝m：
n，点A在第一象限，q为直线AB的倾斜角.则cosq＝；
【证明】如图14，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D，C，过B作BE⊥AD于E，设|AF|＝mt，|AF|＝nt，则
C
D
B
R
A
x
y
O
q
E
F
图14
l
|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，|AE|＝|AD|－|BC|＝（m－n）t
∴在Rt△ABE中，cos∠BAE＝＝＝
∴cosq＝cos∠BAE＝.
【例6】设经过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B，
且|AF|：
|BF|＝3：
1，则直线AB的倾斜角的大小为.
【答案】60°或120°.
★⑼以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切.
【说明】如图15，设E是AF的中点，
C
D
B
R
A
x
y
O
F
图15
l
M
N
E
则E的坐标为（，），
则点E到y轴的距离为d＝＝|AF|
故以AF为直径的圆与y轴相切，
同理以BF为直径的圆与y轴相切.
【说明】如图15，设M是AB的中点，作MN⊥准线l于N，则
|MN|＝（|AD|＋|BC|）＝（|AF|＋|BF|）＝|AB|
图16
则圆心M到l的距离|MN|＝|AB|，
故以AB为直径的圆与准线相切.
★⑽MN交抛物线于点Q，则Q是MN的中点.
【证明】设A（，y1），B（，y1），则C（－，y2），D（－，y1），
M（－，），N（，），
设MN的中点为Q¢，则Q¢（，）
∵＝＝＝
∴点Q¢在抛物线y2＝2px上，即Q是MN的中点.二、定点、定值、定直线问题（共9个结论）
★⑴平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点，如图17.
图17
F
A
B
x
O
T
l
【证明】如图17，设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），直线AB∥x轴，
点A的坐标为（x0，y0），则过A点的切线方程为y0y＝p（x＋x0），直线l的斜率为k0＝，设直线AB到l的角为a，则tana＝，
设直线AF的斜率为k1，则k1＝＝，
设直线l到AF的角为b，
则tanb＝＝＝＝.
∴tana＝tanb，又a、b∈[0，p），则a＝b，
也就是说平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点.
图18
F
P
M
x
O
Q
N
y
M¢
【例7】（2004年福建省质检）如图18，从点M（x0，2）发出的光线沿平行于抛物线y2＝4x的轴的方向射向抛物线的点P，反射后经焦点F又射向直线l：
x－2y－7＝0上的点N，再反射后又设回点M，则x0＝.
【解】PM∥x轴，点P在抛物线上，得P的坐标为（1，2），经过F（1，0）点后反射在Q点，则Q的坐标为（1，－2），经Q反射后点N的坐标为（3，－2），设M关于l对称的点为M¢，依题意，Q、N、M¢共线.
故可设M¢（x1，－2），
由此得，解得x0＝6.
【另解】若设Q关于直线l的对称点为Q¢，设Q¢（a，b），由于Q、Q¢关于直线l对称，由此得
，解得则Q¢的坐标为（，－），
又M、N、Q¢三点共线，kMN＝kNQ¢，即＝，
∴x0＝6.
x
y
O
A（，s）
图19
B（，t）
C（x0，y0）
★⑵若C（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上的任一点，过C引两条互相垂直的直线交抛物线于A、B，则直线AB过定点（2p＋x0，－y0）.
【证明】设A（，s）、B（，t）（s，t，y0互不相等）
那么，由AC⊥BC得
kAC·kBC＝·
＝·＝＝－1
∴4p2＝－（y0＋s）（y0＋t）
∴st＝－4p2－（s＋t）y0－ ①
又直线AB的方程为＝，整理得，y＝ ②
把①代入②得y＝＝－y0＝（x－2p－x0）－y0
令x－2p－x0＝0，即x＝2p＋x0，得y＝－y0.
故直线AB过定点（2p＋x0，－y0）.
特别地，当C是抛物线的顶点时，定点P的坐标为（2p，0）.
【拓展】C（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上的一定点，直线AB与抛物线相交于A、B两点（都异于C），若直线CA、CB的斜率kCA、kCB的乘积为定值m，那么，直线AB过定点（x0－，－y0）.
x
y
O
A（xA，yA）
图20
B（xB，yB）
M
P
【例8】（2000京皖春季高考）如图20，设点A和B为抛物线y2＝4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
【解法一】点A，B在抛物线y2＝4px上，
设A（，yA），B（，yB），OA、OB的斜率分别为kOA、kOB．
∴kOA＝＝，kOA＝，kAB＝＝.
由OA⊥OB，得kOA·kOB＝＝－1 ①
∴直线AB方程为，y－yA＝（x－），即（yA＋yB）（y－yA）＝4p（x－） ②
由OM⊥AB，得直线OM方程y＝ ③
设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以－，并利用③式
整理得，yA2＋yyA－（x2＋y2）＝0 ④
图21
x
y
O
A（xA，yA）
B（xB，yB）
M
P
由③、④两式得－＋yByA－（x2＋y2）＝0，
由①式知，yAyB＝－16p2，所以x2＋y2－4px＝0．
因为A、B是原点以外的两点，所以x≠0．
所以点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．
【解法二】由性质
（2）易知AB经过定点P（4p，0），由于OM⊥AB，那么，M的轨迹以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．其轨迹方程为x2＋y2－4px＝0（x≠0）.
★⑶抛物线y2＝2px（p＞0）的弦AB的中点D恰好在定直线l：
x＝m（m＞0）上，则线段AB的垂直平分线过定点M（m＋p，0）.
图22
【证明】如图22，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（m，y0），那么
①－②得－＝2p（x1－x2）
∴直线AB的斜率kAB＝＝＝
∴直线DM的斜率kDM＝－＝－
∴DM的直线方程为y－y0＝－（x－m）
令y＝0，得x＝m＋p
∴直线AB的垂直平分线恒过定点（m＋p，0）.
【例9】（2008湖南理科高考）若A、B是抛物线y2＝4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x＞2时，点P（x，0）存在无穷多条“相关弦”．给定x0＞2．
⑴证明：
点P（x0，0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；⑵（略）
【说明】应用性质⑶，由已知得p＝2，由定点P（x0，0）得m＋p＝x0，故m＝x0－2
∴“相关弦”的中点的横坐标为x0－2.
★⑷设直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么
①若直线l过抛物线对称轴的定点M（a，0），则y1y2＝－2ap，x1x2＝a2；反之
②若y1y2＝k（定值），则直线l恒过定点N（－，0）.
③若直线l与y轴相交于点（0，y3），则＋＝.
【证明】①设过点M（a，0）的直线方程为x＝my＋a，代入抛物线方程y2＝2px得
x
y
O
A（x1，y1）
图23
B（x2，y2）
y2－2pmy－2pa＝0，因此
y1y2＝－2ap，x1x2＝·＝＝＝a2.
②设直线l方程为x＝my＋b，代入抛物线方程y2＝2px得
y2－2pmy－2pb＝0，
即方程的根y1、y2是P、Q两点的纵坐标
∴y1y2＝－2pb，又y1y2＝k.
∴－2pb＝k，即b＝－，则直线l方程为x＝my－
令y＝0，得x＝－，则直线l恒过定点N（－，0）.
③由l的方程x＝my＋a中，令x＝0得y3＝－，y1＋y2＝2pm
∴＋＝＝＝－＝.
N（x2，y2）
M（x1，y1）
x
y
O
a
图24
b
【例10】（北京2005年春季高考理科）如图24，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别为a和b（a＞0，b≠0），且交抛物线y2＝2px（p＞0）于M（x1，y1）、N（x2，y2）两点.
⑴写出直线l的截距式方程；
⑵证明：
＋＝.
⑴【解】直线l的截距式方程为＋＝1.
⑵由上面性质⑶证明可得＋＝.
★⑸过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线l与抛物线交于A、B两点，且与准线交于点M，设＝l，＝m，则l＋m＝0.
B（x2，y2）
A（x1，y1）
x
y
O
F
图25
M
【证法一】设过点F（，0）的直线方程为x＝my＋，
代入抛物线方程y2＝2px得
y2－2pmy－p2＝0，因此y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm
令x＝－，得yM＝－
由＝l得（x1＋，y1＋）＝l（－x1，－y1）
∴y1＋＝－ly1，l＝1＋，同理，m＝1＋
∴l＋m＝2＋＋＝2＋＝2＋＝2－
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