上海高中数学知识点总结.doc

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上海高中数学——知识点总结

一、集合与常用逻辑

1．集合概念元素：

互异性、无序性

2．集合运算全集U：

如U=R

交集：

并集：

补集：

3．集合关系空集

子集:

任意

注：

数形结合---文氏图、数轴

4．四种命题

原命题：

若p则q逆命题：

若q则p

否命题：

若则逆否命题：

若则

原命题逆否命题否命题逆命题

5．充分必要条件

p是q的充分条件：

p是q的必要条件：

p是q的充要条件：

p⇔q

6．复合命题的真值

①q真（假）⇔“”假（真）

②p、q同真⇔“p∧q”真

③p、q都假⇔“p∨q”假

7.全称命题、存在性命题的否定

"ÎM,p（x）否定为:

$ÎM,

$ÎM,p（x）否定为:

"ÎM,

二、不等式

1．一元二次不等式解法

若，有两实根，则

解集

解集

注：

若，转化为情况

2．其它不等式解法—转化

或

（）

（）

3．基本不等式

①

②若，则

注：

用均值不等式、

求最值条件是“一正二定三相等”

三、函数概念与性质

1．奇偶性

f（x）偶函数f（x）图象关于轴对称　

f（x）奇函数f（x）图象关于原点对称

注：

①f（x）有奇偶性定义域关于原点对称

②f（x）奇函数,在x=0有定义f（0）=0

③“奇+奇=奇”（公共定义域内）

2．单调性

f（x）增函数：

x1＜x2f（x1）＜f（x2）

或x1＞x2f（x1）＞f（x2）

或

f（x）减函数：

？

注：

①判断单调性必须考虑定义域

②f（x）单调性判断

定义法、图象法、性质法“增+增=增”

③奇函数在对称区间上单调性相同

偶函数在对称区间上单调性相反

3．周期性

是周期恒成立（常数）

4．二次函数

解析式：

f（x）=ax2+bx+c，f（x）=a（x-h）2+k

f（x）=a（x-x1）（x-x2）

对称轴：

顶点：

单调性：

a>0，递减，递增

当，f（x）min

奇偶性：

f（x）=ax2+bx+c是偶函数b=0

闭区间上最值：

配方法、图象法、讨论法---

注意对称轴与区间的位置关系

注：

一次函数f（x）=ax+b奇函数b=0

四、基本初等函数

1．指数式

2．对数式（a>0,a≠1）

注：

性质

常用对数，

自然对数，

3．指数与对数函数y=ax与y=logax

定义域、值域、过定点、单调性？

注：

y=ax与y=logax图象关于y=x对称（互为反函数）

4．幂函数

在第一象限图象如下：

五、函数图像与方程

1．描点法

函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）

取特殊点如零点、最值点等　

2．图象变换

平移：

“左加右减，上正下负”

伸缩：

对称：

“对称谁，谁不变，对称原点都要变”

注：

翻折：

保留轴上方部分，

并将下方部分沿轴翻折到上方

保留轴右边部分，

并将右边部分沿轴翻折到左边

3．零点定理

若，则在内有零点

（条件：

在上图象连续不间断）

注：

①零点：

的实根

②在上连续的单调函数，

则在上有且仅有一个零点

③二分法判断函数零点---？

六、三角函数

1．概念第二象限角（）

2．弧长扇形面积

3．定义

其中是终边上一点，

4．符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”

5．诱导公式：

“奇变偶不变，符号看象限”

如，

6．特殊角的三角函数值

0

sin

0

1

0

cos

1

0

0

tg

0

1

/

0

/

7．基本公式

同角

和差

倍角

降幂cos2α=sin2α=

叠加

8．三角函数的图象性质

y=sinx

y=cosx

y=tanx

图象

单调性：

增减增

sinx

cosx

tanx

值域

[-1，1]

[-1，1]

无

奇偶

奇函数

偶函数

奇函数

周期

2π

2π

π

对称轴

无

中心

注：

9．解三角形

基本关系：

sin（A+B）=sinCcos（A+B）=-cosC

tan（A+B）=-tanC

正弦定理：

==

余弦定理：

a2=b2+c2－2bccosA（求边）

cosA=（求角）

面积公式：

S△＝absinC

注：

中，A+B+C=？

a2＞b2+c2⇔∠A＞

七、数列

1、等差数列

定义：

通项：

求和：

中项：

（成等差）

性质：

若，则

2、等比数列

定义：

通项：

求和：

中项：

（成等比）

性质：

若则

3、数列通项与前项和的关系

4、数列求和常用方法

公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法

八、平面向量

1．向量加减三角形法则，平行四边形法则

首尾相接，=共始点

中点公式：

是中点

2．向量数量积==

注：

①夹角：

00≤θ≤1800

②同向：

3．基本定理（不共线--基底）

平行：

（）

垂直：

模：

＝

夹角：

注：

①∥②（结合律）不成立

③（消去律）不成立

九、复数与推理证明

1．复数概念

复数：

（a,b，实部a、虚部b

分类：

实数（），虚数（），复数集C

注：

是纯虚数，

相等：

实、虚部分别相等

共轭：

模：

复平面：

复数z对应的点

2．复数运算

加减：

（a+bi）±（c+di）=？

乘法：

（a+bi）（c+di）=？

除法：

===…

乘方：

，

3．合情推理

类比：

特殊推出特殊

归纳：

特殊推出一般

演绎：

一般导出特殊（大前题→小前题→结论）

4．直接与间接证明

综合法：

由因导果

比较法：

作差—变形—判断—结论

反证法：

反设—推理—矛盾—结论

分析法：

执果索因

分析法书写格式：

要证A为真，只要证B为真，即证……，

这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真

注：

常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程

5．数学归纳法：

（1）验证当n=1时命题成立,

（2）假设当n=k（kÎN*，k³1）时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立

由

（1）

（2）知这命题对所有正整数n都成立

注：

用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用

十、直线与圆

1、倾斜角范围

斜率

注：

直线向上方向与轴正方向所成的最小正角

倾斜角为时，斜率不存在

2、直线方程

点斜式，斜截式

两点式，截距式

一般式

注意适用范围：

①不含直线

②不含垂直轴的直线

③不含垂直坐标轴和过原点的直线

3、位置关系（注意条件）

平行且

垂直垂直

4、距离公式

两点间距离：

|AB|=

点到直线距离：

5、圆标准方程：

圆心，半径

圆一般方程：

（条件是？

）

圆心半径

6、直线与圆位置关系

位置关系

相切

相交

相离

几何特征

代数特征

注：

点与圆位置关系点在圆外

7、直线截圆所得弦长

十一、圆锥曲线

一、定义

椭圆：

|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）

双曲线：

|PF1|-|PF2|=±2a（0<2a<|F1F2|）

抛物线：

与定点和定直线距离相等的点轨迹

二、标准方程与几何性质（如焦点在x轴）

椭圆（a>b>0）

双曲线（a>0,b>0）

中心原点对称轴？

焦点F1（c,0）、F2（-c,0）

顶点:

椭圆（±a,0）,（0,±b），双曲线（±a,0）

范围:

椭圆-a£x£a,-b£y£b

双曲线|x|³a，yÎR

焦距：

椭圆2c（c=）

双曲线2c（c=）

2a、2b:

椭圆长轴、短轴长，

双曲线实轴、虚轴长

离心率：

e=c/a椭圆01

注：

双曲线渐近线

方程表示椭圆

方程表示双曲线

抛物线y2=2px（p>0）

顶点（原点）对称轴（x轴）

开口（向右）范围x³0离心率e=1

焦点准线

十二、矩阵、行列式、算法初步

十、算法初步

一．程序框图

程序框

名称

功能

起止框

起始和结束

输入、输出框

输入和输出的信息

处理框

赋值、计算

判断框

判断某一条件是否成立

循环框

重复操作以及运算

二．基本算法语句及格式

1输入语句：

INPUT“提示内容”；变量

2输出语句：

PRINT“提示内容”；表达式

3赋值语句：

变量=表达式

4条件语句

“IF—THEN—ELSE”语句“IF—THEN”语句

IF条件THENIF条件THEN

语句1语句

ELSEENDIF

语句2

ENDIF

5循环语句

当型循环语句直到型循环语句

WHILE条件DO

循环体循环体

WENDLOOPUNTIL条件

当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”

三．算法案例

1、求两个数的最大公约数

辗转相除法：

到达余数为0

更相减损术：

到达减数和差相等

2、多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值

秦九韶算法：

v1=anx+an－1v2=v1x+an－2

v3=v2x+an－3vn=vn－1x+a0

注：

递推公式v0=anvk=vk－1X+an－k（k=1,2,…n）

求f（x）值，乘法、加法均最多n次

3、进位制间的转换

k进制数转换为十进制数：

十进制数转换成k进制数：

“除k取余法”

例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3

例2已知f（x）=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，秦九韶算法求f（5）

123＝2×48＋27v0=2

　　48＝1×27＋21v1=2×5－5=5

　　27＝1×21＋6v2=5×5－4=21

　　21＝3×6＋3v3=21×5+3=108

6＝2×3+0v4=108×5－6=534

v5=534×5+7=2677

十三、立体几何

1．三视图正视图、侧视图、俯视图

2．直观图：

斜二测画法=450

平行X轴的线段，保平行和长度

平行Y轴的线段，保平行，长度变原来一半

3．体积与侧面积

V柱=S底hV锥=S底hV球=πR3

S圆锥侧=S圆台侧=S球表=

4．公理与推论确定一个平面的条件：

①不共线的三点②一条直线和这直线外一点

③两相交直线④两平行直线

公理：

平行于同一条直线的两条直线平行

定理：

如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

5．两直线位置关系相交、平行、异面

异面直线——不同在任何一个平面内

6．直线和平面位置关系

7．平行的判定与性质

线面平行：

∥，∥

∥，∥

面面平行：

∥，∥平面∥

∥，∥

8．垂直的判定与性质

线面垂直：

面面垂直：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；

若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

三垂线定理：

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理？

9．空间角、距离的计算

异面直线所成的角范围（0°，90°]

平移法：

转化到一个三角形中，用余弦定理

直线和平面所成的角范围[0°，90°]

定义法：

找直线在平面内射影，转为解三角形

二面角范围[0°，180°]

定义法：

作出二面角的平面角，转为解三角形

点到平面的距离

体积法--用三棱锥体积公式

注：

计算过程，“一作二证三求”，都要写出

10．立体几何中的向量解法

法向量求法：

设平面ABC的法向量=（x,y）

解方程组，得一个法向量

线线角：

设是异面直线的方向向量，

所成的角为，则

即所成的角等于或

线面角：

设是平面的法向量，是平面的

一条斜线，与平面所成的角为，

则

二面角：

设是面的法向量，二面角的大小为，则或

即二面角大小等于或

点到面距离：

若是平面的法向量，是平面的一条斜线段，且，

则点到平面的距离

十四、计数原理

1.计数原理加法分类，乘法分步

2．排列组合差异---排列有序而组合无序

公式==

==

关系：

性质：

=

3．排列组合应用题

原则：

分类后分步，先选后排，先特殊后一般

解法：

相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”

复杂问题“排除法”

4．二项式定理

特例

通项

注---第项二项式系数

性质：

所有二项式系数和为

中间项二项式系数最大

赋值法：

取等代入二项式

十五、概率与统计

1．古典概型：

（）

求基本事件个数：

列举法、图表法

2．几何概型：

注：

试验出现的结果无限个

3．加法公式：

若事件和互斥，则

互斥事件:

不可能同时发生的事件

对立事件:

不同时发生，但必有一个发生的事件

4．常用抽样（不放回）

简单随机抽样：

逐个抽取（个数少）

系统抽样：

总体均分，按规则抽取（个数多）

分层抽样：

总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显）

5．用样本估计总体

众数：

出现次数最多的数据

中位数：

按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）

平均数：

方差标准差

6．频率分布直方图

小长方形面积=组距×=频率

各小长方形面积之和为1

众数—最高矩形中点的横坐标

中位数—垂直于轴且平分直方图面积的直线与轴交点的横坐标

茎叶图：

由茎叶图可得到所有的数据信息如

众数、中位数、平均数等