A
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是________．
解析：
依题意：
解得a＝1.答案：
1
4．求与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点（3，2）的双曲线方程．
解析：
∵所求双曲线与－＝1有相同的焦点，∴双曲线的焦点为（±2，0）
设所求双曲线方程为－＝1.
∵双曲线经过点（3，2），∴－＝1，解得a2＝12. ∴所求双曲线的方程为－＝1.
●问题与困惑：
二、互动探究
●问题探究：
探究1：
把椭圆定义中的“和”字改成“差”字，所得的轨迹是什么曲线？
探究2：
根据双曲线的定义，怎样导出双曲线的标准方程的？
探究3：
双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？
、、之间的关系有何不同？
探究4：
怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？
它与椭圆的区分方法有何不同？
●基础知识归纳：
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距．
反思
（1）：
设常数为，为什么？
时，轨迹是；
时，轨迹．
反思
（2）：
双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？
没有“绝对值”三个字呢？
2．双曲线的标准方程
焦点在轴上
焦点在轴上
标准方程
焦点
的关系
小结：
双曲线的标准方程与椭圆的标准方程的区别：
1.焦点位置的判定：
椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定
2.、、之间的关系：
椭圆是，双曲线是（记忆方法：
椭圆的焦点在顶点之内，所有；双曲线焦点在顶点之外，所有）
●典例导析：
题型一、求双曲线的标准方程
例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点A（4，－），B；
（2）c＝，经过点（－5,2），焦点在x轴上．
[思路点拨]
1.找出两个定量条件和定位条件，由定量条件求、的值（注意应用）；由定位条件确定焦点所在的位置.
2.常用待定系数法.
[解题过程]
（1）方法一：
①当焦点在x轴上时，
设双曲线标准方程为－＝1（a>0，b>0）．由于双曲线过点A（4，－），B，
∴解得∴所求双曲线标准方程是－y2＝1.
②当焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为－＝1（a>0，b>0）．
则解得不合题意，舍去．
综上所述，双曲线的标准方程是－y2＝1.
方法二：
设双曲线方程为mx2－ny2＝1，由双曲线经过A（4，－），B
可得解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
（2）设双曲线方程为－＝1
∵c＝，∴6＝a2＋b2①又∵双曲线经过点（－5,2），∴－＝1②
由①②得：
或（舍）
∴双曲线方程为－＝1.
[题后感悟] 双曲线标准方程的求解步骤：
变式训练：
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）a＝3，c＝4，焦点在x轴上．
（2）a＝2，经过点A（2，－5），焦点在y轴上．
（3）焦点分别为F1（－10,0）、F2（10,0），且经过点（3，－4）．
（4）焦点在y轴上，并且双曲线过点（3，－4）和.
解析：
（1）由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
（2）因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程可设为－＝1（a>0，b>0）．
由题设知，a＝2，且点A（2，－5）在双曲线上，所以，解得a2＝20，b2＝16.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
（3）由题设知双曲线的焦点在x轴上，且c＝10.所以可设它的标准方程为－＝1（a>0，b>0）．
从而将双曲线的标准方程化为－＝1，
将点（3，－4）代入并化简整理，得b4－39b2－1600＝0，解得b2＝64或b2＝－25（舍去），
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
（4）由已知可设所求双曲线方程为－＝1（a>0，b>0），
则，解得
∴双曲线的方程为－＝1.
题型二、双曲线定义的应用
例2－1、已知定点F1（0，－4），F2（0,4），动点M满足|MF1|－|MF2|＝2a，当a＝3和a＝4时，点M的轨迹为（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支和一条射线
[解题过程] 由已知，|F1F2|＝8.
当a＝3时，|MF1|－|MF2|＝6<|F1F2|，故点M的轨迹是双曲线的一支
当a＝4时，|MF1|－|MF2|＝8＝|F1F2|，故点M的轨迹是一条射线F1F2
答案：
D
[题后感悟] 如何判断动点的轨迹？
（1）由已知条件，判断2a与|F1F2|的大小关系，大致确定动点的轨迹是双曲线或射线等；
（2）再据|MF1|－|MF2|＝2a有无绝对值，准确确定动点轨迹的特征．
变式训练：
2－1.已知点F1（0，－13），F2（0,13），动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为
A．y＝0 B．y＝0（x≤－13或x≥13） C．x＝0（|y|≥13） D．以上都不对
答案：
C
例2－2、若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[思路点拨]
[规范作答] 由双曲线方程－＝1，可知a＝3，b＝4，c＝＝5.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a＝±6，将此式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
[题后感悟]
在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．
变式训练：
2－2.设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．
解析：
在双曲线－y2＝1中，a2＝4，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5，∴a＝2，c＝.
由于点P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝±4.①
∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20.②
②－①2得，2|PF1|·|PF2|＝4，∴|PF1|·|PF2|＝2，
∴△F1PF2的面积是S＝|PF1||PF2|＝1.
（想一想：
若改为“∠F1PF2＝60°”呢？
）
题型三、求与双曲线相关的轨迹方程
例3、求与两个定圆C1：
x2＋y2＋10x－24＝0和C2：
x2＋y2－10x＋24＝0都外切或者都内切的动圆的圆心的轨迹方程．
[思路点拨]
[解题过程] ⊙C1：
（x＋5）2＋y2＝49⇒C1（－5,0），r1＝7，
⊙C2：
（x－5）2＋y2＝1⇒C2（5,0），r2＝1，
设动圆圆心为M（x，y），半径为R，
（1）如图①，当⊙M与⊙C1、⊙C2都外切时，
有|MC1|＝r1＋R，|MC2|＝r2＋R， 则|MC1|－|MC2|＝r1－r2＝6.
（2）如图②，当⊙M与⊙C1、⊙C2都内切时，
有|MC1|＝R－r1，|MC2|＝R－r2.，则|MC1|－|MC2|＝r2－r1＝－6.
在
（1）
（2）两种情况下，点M与两定点C1、C2的距离的差的绝对值是6，由双曲线的定义，点M的轨迹是以C1（－5,0），C2（5,0）为焦点实轴长为6的双曲线，c＝5，a＝3⇒b＝＝＝4，
方程为：
－＝1.
[题后感悟]
（1）本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨迹是双曲线，且可求出a，b时，就可直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．
（2）由于动点M到两定点C2，C1的距离的差的绝对值为常数，因此，其轨迹是双曲线．
变式训练：
4．如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足
2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
解析：
如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，
建立直角坐标系，则A（－2，0），B（2，0）．
由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝.
∵sinB－sinA＝sinC，∴b－a＝.从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.所以顶点C的轨迹方程为－＝1（x>）．
故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点（，0）．
[疑难解读]
1．双曲线定义中注意的三个问题
（1）注意定义中的条件2a＜|F1F2|不可缺少．
若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；
若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
（2）注意定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数．若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
（3）注意定义中的关键词“绝对值”.若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．
2．待定系数法求双曲线标准方程的步骤
（1）作判断：
根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
（2）设方程：
根据上述判断设方程为－＝1或－＝1（a＞0，b＞0）．
（3）寻关系：
根据已知条件列出关于a，b，c的方程组．
（4）得方程：
解方程组，将a，b代入所设方程即为所求．
3．椭圆与双曲线的比较
椭圆
双曲线
定义
方程
焦点
的关系
[误区警示]
◎设F1、F2是双曲线－＝1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．（上海高考试题）
【错解一】 双曲线的实轴长为8，由|PF1|－|PF2|＝8，
即9－|PF2|＝8，得|PF2|＝1.
【错解二】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得
||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，
所以|PF2|＝1或17.
【错因】 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：
双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a，到一个焦点的距离是c－a，到另一个焦点的距离是a＋c，本题是2或10，|PF2|＝1小于2，不合题意．
【正解】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得
||PF1|－|PF2||＝8，
所以|9－|PF2||＝8，
所以|PF2|＝1或17.
因为|F1F2|＝12，当|PF2|＝1时，
|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|，
不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去．
所以|PF2|＝17.
三、巩固拓展
●必做：
教材第61页，习题2.3A组第1、2题，B组第2题
●补充作业：
一、选择题（每小题5分，共20分）
1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为（ ）
A. B. C. D．（，0）
解析：
将双曲线方程化为标准形式x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，∴c＝＝，
∴右焦点坐标为.故选C. 答案：
C
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
解析：
方程可变为－＝1，又m·n<0，∴又可变为－＝1.
∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线． 答案：
D
3．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为（ ）
A．6 B．12 C．12 D．24
解析：
由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝2.
由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.∴三角形为直角三角形．
∴S△PF1F2＝×6×4＝12. 答案：
B
4．已知双曲线方程为－＝1，点A、B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为（ ）
A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m
解析：
设△ABF1的周长为C，则C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝（|AF1|－|AF2|）＋（|BF1|－|BF2|）＋|AF2|＋|BF2|＋|AB|
＝（|AF1|－|AF2|）＋（|BF1|－|BF2|）＋2|AB|＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m.
答案：
B
二、填空题（每小题5分，共10分）
5.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，
则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：
∵－＝1，∴当x＝3时，y＝±. 又∵F2（4,0），
∴|AF2|＝1，|MA|＝， ∴|MF2|＝＝4.故填4.
答案：
4
6．双曲线－＝1上一点P到点（5,0）的距离为15，则点P到点（－5,0）的距离为________．
解析：
双曲线的焦点为（5,0）和（－5,0） 由||PF1|－|PF2||＝8. ∴||PF1|－15|＝8，∴|PF1|＝23或|PF1|＝7.
答案：
7或23
三、解答题（每小题10分，共20分）
7．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
（1）经过点A（4，3），且a＝4；
（2）经过点A、B（3，－2）．
解析：
（1）若所求双曲线方程为－＝1（a>0，b>0），
则将a＝4代入，得－＝1，
又点A（4，3）在双曲线上，
∴－＝1.
解得b2＝9，则－＝1，
若所求双曲线方程为－＝1（a>0，b>0）．
同上，解得b2<0，不合题意，
∴双曲线的方程为－＝1.
（2）设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn<0），
∵点A、B（3，－2）在双曲线上，
∴解之得
∴所求双曲线的方程为－＝1.
8．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．
解析：
（1）当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
（2）当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；
（3）当k<0时，方程变为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
（4）当0（5）当k>1时，方程变为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
尖子生题库☆☆☆
9．（10分）双曲线－＝1（a>0，b>0）满足如下条件：
（1）ab＝；
（2）过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|∶|QF|＝2∶1，
求双曲线的方程．
解析：
设右焦点F（c,0），点Q（x，y），
设直线l：
y＝（x－c），
令x＝0，得p，
则有P＝2Q，
所以＝2（c－x，－y）
∴x＝2（c－x）且y＋c＝－2y，
解得：
x＝c，y＝－c.
即Q，且在双曲线上，
∴b22－a22＝a2b2，
又∵a2＋b2＝c2，
∴－＝1，
解得＝3，又由ab＝，可得
∴所求双曲线方程为x2－＝1.
11
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