一元二次不等式及其解法.doc

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一元二次不等式及其解法（知识讲解与典型例题）

课标要求分析：

　　经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系。

掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。

课标建议在一元二次不等式的学习中，应注重了解一元二次不等式的实际背景。

求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。

鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。

本周学习目标：

　　1．掌握一元二次不等式的基本解法；

　　2．了解一元二次不等式与相应函数，方程的联系，体会数形结合的数学思想；

　　3．初步掌握高次（分式）不等式、无理不等式与绝对值不等式的解法；

　　4．能将实际问题转化为数学问题，建立不等式模型，求解不等式。

本周学习重难点：

　　一元二次不等式的基本解法及与相应函数、方程的联系。

本周学习内容：

1．一元一次不等式的解法回顾

　　为引入一元二次不等式和梳理不等式解法作准备。

2．一元二次不等式的解法

　　一元二次不等式的一般形式：

　　由一元二次不等式的一般形式，即可发现其与二次函数和二次方程的联系，

　　进而可以利用函数图象得到不等式的解集。

　　设，两根为，。

　　结合图象按判别式分类归纳下表：

解集判别式

R

注意：

（1）的情形要转化为的情形；

（2），解集的变化。

　　关于含参讨论注意：

（1）对二次项系数讨论：

定不等式类型、定图象（开口方向）类型；

（2）对根的讨论：

判别式（根的个数，交点个数）、根的分布（根的大小）；

　　（3）对解集的讨论：

画函数图象草图，根据图象定解集。

　　（4）书写表达的规范。

3．高次（分式）不等式的解法

　　简单高次不等式的解法：

穿线法。

　　注意：

系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿。

单独考虑孤立点。

　　（回顾变号零点存在定理，穿线法的原理还是一个数形结合的思想。

）

　　分式不等式：

分式化整式。

　　一边化0，改写成乘积式，注意分母不等于0的限制。

特别小心“≥，≤”型的不等式。

4．无理及指对不等式的解法

　　无理不等式：

转化思想，等价不等式（组）或数形结合

　　或，

　　，

　　。

5．绝对值不等式的解法

　　含一个绝对值：

　　或

　　含两个或以上绝对值：

零点分段法。

　　也可利用绝对值的几何意义或结合函数图象求解。

本周典型例题：

　　1．解关于x的不等式：

（1）

（2）

　　分析：

注意对字母系数的讨论，分清谁是参数。

提醒数形结合与数轴的运用。

　　解析：

（1）不等式可整理为

　　　　　　　当，即或时，不等式解集为；

　　　　　　　当，即或时，若，解集为R；若，解集为；

　　　　　　　当，即时，不等式解集为。

（2）不等式可整理为

　　　　　　　当，即或时，不等式解集为

　　　　　　　当，即或时，若，解集为R;若，解集为；

　　　　　　　若，即时，解集为。

　　2．解下列一元二次不等式：

（1）；

（2）；

　　（3）；　　　（4）。

　　分析：

熟悉一元二次不等式的基本解法，注意二次项系数的正负，化简变形，乘法公式。

　　解析：

（1）整理得，解集为。

（2）整理得，解集为R。

　　　　　（3）整理得，解集为[-1，3]。

　　　　　（4）整理得，解集为。

　　3．已知二次函数，当时，有，解关于x的不等式。

　　分析：

考查二次函数与二次不等式的联系。

深化对用函数图象解二次不等式的理解。

　　解析：

由时，有，说明不等式的解是，

　　　　进而方程的两根为。

　　　　　于是由根与系数的关系，，求得

　　　　　故不等式即为，解得。

　　4．若不等式的解集为，求a和b的值。

　　分析：

考查二次方程与二次不等式的联系。

注意二次项系数的正负。

　　解析：

不等式的解集为，故。

　　　　　利用二次不等式与方程的关系，

　　　　　有，解得。

这个解符合，从而a和b的值均为-2。

　　5．若不等式对一切都成立，求实数m的取值范围。

　　分析：

本题是较为经典的综合运用二次不等式知识的题目。

不等式含有参数m，分类讨论的思想是立刻要想到的，首先就是要“定二次项”。

而后再运用判别式的知识解题。

　　解析：

由于二次项系数含有参数m，故先对二次项系数进行分类讨论。

　　　　　若，即m=2，则不等式化为，对一切都成立，故m=2符合题意。

　　　　　当时，依题意需满足，解得。

　　　　　综上，m的取值范围为。

　　6．解关于x的不等式：

（1）；

（2）；（3）

　　分析：

本题侧重考查含参二次不等式的解法。

在前面的题目中对含参讨论有一定了解后，本题要求掌握系统的含参讨论方法。

数形结合，定开口、定△、定根（比大小）、画图、写解集。

　　解析：

（1）若，则为一元一次不等式，解集为；

　　　　当时，方程两根为；

　　　　若时，则解集为；

　　　　若，则，解集为；

　　　　若，则解集为；

　　　　若，则解集为。

（2）若m=0，则为一元一次不等式，解集为R；

　　　　当m≠0时，二次项系数，；不等式化为。

　　　　若，则解集为；

　　　　若，则解集为。

　　（3）若k=0，不等式变形为，解集为

　　　　若k≠0，不等式为一元二次不等式，

　　　　若，则，

　　　　方程的根为，

　　　　，且，解集为

　　　　若，则，

　　　　方程的根为，

　　　　，且，

　　　　解集为

　　　　若时，，

　　　　方程的根为，解集为

　　　　若时，，解集为R。

　　　　综上，若，解集为；若，解集为；

　　　　若,解集为;若；解集为R。

　　7．解关于x的不等式：

（1）；

（2）；

　　（3）；　　　（4）。

　　分析：

分式不等式转化为高次不等式，用穿线法来求解。

其中要特别注意分母不为0。

（1）原不等式等价于，解集为。

（2）原不等式等价于，解集为。

　　（3）原不等式等价于，

　　　　若，则解集为；

　　　　若，则解集为。

　　（4）不等式可等价为，

　　　　若，则解集为；

　　　　若，解集为；

　　　　若，解集为；

　　　　若，解集为；

　　　　若，解集为.

　　8．解关于x的不等式：

（1）；

（2）；（3）。

　　分析：

利用不等式变形，但一定要注意进行的是等价变形，不能丢解。

　　解析：

（1）不等式等价为或，解得。

（2）不等式等价为，解得。

　　（3）数形结合设，要使，

　　　　即左边函数图象在右边函数图象下方，

　　　　解方程，

　　　　由[1]，，，

　　　　由图得到：

　　　　当时，不等式解集为：

；

　　　　当时，不等式解集：

；

　　　　当时，不等式解集为。

　　9．解关于x的不等式：

（1）；

（2）。

　　分析：

利用指对函数的单调性，变形不等式求解。

尤其要注意定义域。

　　解析：

（1）由为增函数，不等式变形为，再变形为，即

　　　　　　　，解得。

（2）原不等式等价为

　　　　　　　所以解集为。

　　10．解关于x的不等式：

。

　　分析：

转化为不等式组或利用几何性质求解，通过此题熟悉绝对值不等式的基本解法。

　　解析：

　　　　　故解集为。

　　11．解关于x的不等式：

；

　　分析：

含两个绝对值符号的，利用零点分段，结合图象讨论求解。

　　解析：

　　设，则，解不等式，得解集为。

　　设，则，解不等式，得解集为。

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