圆锥曲线典型例题整理.doc
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椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：
已知椭圆的焦点是F1（0，－1）、F2（0,1），P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。
解：
由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.
所以椭圆的标准方程是＋＝1.
2．已知椭圆的两个焦点为F1（－1,0），F2（1,0），且2a＝10，求椭圆的标准方程．
解：
由椭圆定义知c＝1，∴b＝＝.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例：
2.椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：
题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：
（1）当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：
；
（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：
；
三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
例3．求过点（－3,2）且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
解：
因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1.由点（－3,2）在椭圆上知＋＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
例4：
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：
由题意，设椭圆方程为，
由，得，∴，，
，∴，∴为所求．
五、求椭圆的离心率问题。
例5一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
解：
∴，∴．
例6已知椭圆的离心率，求的值．
解：
当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．
当椭圆的焦点在轴上时，，，得．
由，得，即．∴满足条件的或．
六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例：
7.若△ABC的两个顶点坐标A（－4,0），B（4,0），△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。
解：
顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为＋＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1（y≠0）答案：
＋＝1（y≠0）
2．已知椭圆的标准方程是＋＝1（a>5），它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2的周长．
因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝，所以△ABF2的周长为4a＝4.
3．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，求△PF1F2的面积．
解析：
由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝
（2）2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4
七、直线与椭圆的位置问题
例8已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．
分析一：
已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．
解法一：
设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得
．由韦达定理得．
∵是弦中点，∴．故得．所以所求直线方程为．
解法二：
设过的直线与椭圆交于、，则由题意得
①－②得．⑤
将③、④代入⑤得，即直线的斜率为所求直线方程为．
八、椭圆中的最值问题
例9椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．
解：
由已知：
，．所以，右准线．
过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以．
双曲线典型例题
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
例1 讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
分析：
由于，，则的取值范围为，，，分别进行讨论．
解：
（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．
（2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3），，时，所给方程没有轨迹．
说明：
将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．
二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）过点，且焦点在坐标轴上．
（2），经过点（－5，2），焦点在轴上．
（3）与双曲线有相同焦点，且经过点
解：
（1）设双曲线方程为
∵、两点在双曲线上，
∴解得∴所求双曲线方程为
说明：
采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．
（2）∵焦点在轴上，，∴设所求双曲线方程为：
（其中）
∵双曲线经过点（－5，2），∴∴或（舍去）
∴所求双曲线方程是
（3）设所求双曲线方程为：
∵双曲线过点，∴∴或（舍）
∴所求双曲线方程为
说明：
（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法．
（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．
三、求与双曲线有关的角度问题。
例3已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小．
分析：
一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．
解：
∵点在双曲线的左支上∴∴
∴∵∴
说明：
（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．
（2）题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？
请读者试探索．
四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。
例4已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积．
分析：
利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积．
解：
∵为双曲线上的一个点且、为焦点．
∴,∵
∴在中，∵
∴∴∴
说明：
双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．
五、根据双曲线的定义求其标准方程。
例5 已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．
分析：
问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．
解：
根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．
∵，∴
∴所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．
例 是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值．
分析：
利用双曲线的定义求解．
解：
在双曲线中，，，故．
由是双曲线上一点，得．∴或．
又，得．
说明：
本题容易忽视这一条件，而得出错误的结论或．
说明：
（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．
（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．
六、求与圆有关的双曲线方程。
例6 求下列动圆圆心的轨迹方程：
（1）与⊙内切，且过点
（2）与⊙和⊙都外切．
（3）与⊙外切，且与⊙内切．
分析：
这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙、⊙的半径为、且，则当它们外切时，；当它们内切时，．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．
解：
设动圆的半径为
（1）∵⊙与⊙内切，点在⊙外∴，，
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有：
，，∴双曲线方程为
（2）∵⊙与⊙、⊙都外切∴，，
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有：
，，
∴所求的双曲线的方程为：
（3）∵⊙与⊙外切，且与⊙内切
∴，，
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有：
，，
∴所求双曲线方程为：
说明：
（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．
（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．
（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.
抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。
例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程．
（1）
（2）
分析：
（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．
（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．
解：
（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：
（2）原抛物线方程为：
，
①当时，，抛物线开口向右，∴焦点坐标是，准线方程是：
．
②当时，，抛物线开口向左，∴焦点坐标是，准线方程是：
．
综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：
．
二、求直线与抛物线相结合的问题
例2若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．
分析：
由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．
解法一：
设、，则由：
可得：
．
∵直线与抛物线相交，且，则．∵AB中点横坐标为：
，
解得：
或（舍去）．故所求直线方程为：
．
解法二：
设、，则有．
两式作差解：
，即．
，
故或（舍去）．则所求直线方程为：
．
三、求直线中的参数问题
例3
（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值．
（2）以
（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．
分析：
（1）题可利用弦长公式求k，
（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标．
解：
（1）由得：
设直线与抛物线交于与两点．则有：
，即
（2），底边长为，∴三角形高∵点P在x轴上，∴设P点坐标是
则点P到直线的距离就等于h，即
或，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）．
四、与抛物线有关的最值问题
例4 定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标．
分析：
线段中点到轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究、两点的横坐标之和取什么最小值即可．
解：
如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则
．
设点的横坐标为，纵坐标为，，则．
等式成立的条件是过点．
当时，，故，
，．所以，此时到轴的距离的最小值为．
说明：
本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．
例5 已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为__________．
分析：
本题若建立目标函数来求的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．
解：
如图，
由定义知，故．
取等号时，、、三点共线，∴点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，
所以点坐标为．
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