椭圆高考典型题型整理.doc
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椭圆高考典型题型归纳
题型一.定义及其应用
例1.已知一个动圆与圆相内切，且过点，求这个动圆圆心的轨迹方程；
例2.方程所表示的曲线是
练习：
1.方程对应的图形是（）
A.直线B.线段C.椭圆D.圆
2.方程对应的图形是（）
A.直线B.线段C.椭圆D.圆
3.方程成立的充要条件是（）
A.B.C.D.
4.如果方程表示椭圆，则的取值范围是
5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于；
6.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为；
题型二.椭圆的方程
（一）由方程研究曲线
例1.方程的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；
（二）分情况求椭圆的方程
例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程；
（三）用待定系数法求方程
例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、，求椭圆的方程；
例4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；
注：
一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为；
（四）定义法求轨迹方程；
例5.在中，所对的三边分别为，且，求满足且成等差数列时顶点的轨迹；
（五）相关点法求轨迹方程；
例6.已知轴上一定点，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程；
（六）直接法求轨迹方程；
例7.设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线上满足的点，求点的轨迹方程；
（七）列方程组求方程
例8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程；
题型三.焦点三角形问题
例1.已知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，求、及；
例2.
题型四.椭圆的几何性质
例1.已知是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为
例2.椭圆的四个顶点为，若四边形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；
例3.若椭圆的离心率为，则；
例4.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为
题型五.求范围
例1.方程表示准线平行于轴的椭圆，求实数的取值范围；
题型六.椭圆的第二定义的应用
例1.方程所表示的曲线是
例2.求经过点，以轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程；
例3.椭圆上有一点，它到左准线的距离等于，那么到右焦点的距离为
例4．已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。
例5．已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．求的最小值及对应的点的坐标．
题型七.求离心率
例1.椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离为，则椭圆的离心率
例2.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为
例3.、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，且，则椭圆的离心率为；
题型八.椭圆参数方程的应用
例1.椭圆上的点到直线的距离最大时，点的坐标
例2.方程（）表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
题型九.直线与椭圆的关系
（1）直线与椭圆的位置关系
例1.当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？
例2.曲线（）与连结，的线段没有公共点，求的取值范围。
例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。
分析：
若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。
解：
设，：
把代入椭圆方程得：
，即
，，
∴，此时
令直线的倾角为，则即面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。
例4.求直线和椭圆有公共点时，的取值范围。
（二）弦长问题
例1.已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。
分析：
若直线与圆锥曲线相交于两点、，
则弦的长度的计算公式为，
而，因此只要把直线的方程代入圆锥曲线方程，消去（或），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。
解：
设（），则直线的方程为，设直线与椭圆相交于、，由，可得，
，，则
∴，即
∴，又，∴，∴；
例2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，
若，为坐标原点，的斜率为，求的值。
例3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，若的面积是20，求直线方程。
（三）弦所在直线方程
例1.已知椭圆，过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是；
例2.已知一直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，求直线的方程；
例3.椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点，且C分有向线段的比为2.
（1）用直线的斜率表示的面积；
（2）当的面积最大时，求椭圆E的方程．
解：
（1）设椭圆的方程为，由，∴a2=3b2
故椭圆方程；
设，由于点分有向线段的比为2．
∴，即
由消去y整理并化简得（3k2+1）x2+6k2x+3k2－3b2=0
由直线l与椭圆E相交于两点
③
④
⑤
而⑥
由①④得:
，代入⑥得：
.
（2）因,
当且仅当取得最大值．
此时，又∵，∴；
将及代入⑤得3b2=5，∴椭圆方程．
例4.已知是椭圆上的三点，为椭圆的左焦点，且成等差数列，则的垂直平分线是否过定点？
请证明你的结论。
（四）关于直线对称问题
例1.已知椭圆，试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称；
例2.已知中心在原点，焦点在轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点，且线段恰被直线平分？
若存在，求出直线倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。
题型十.最值问题
F2
F1
M1
M2
例1．若，为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。
分析：
欲求的最大值和最小值
o
可转化为距离差再求。
由此想到椭圆第一定义
为椭圆的左焦点。
解：
，连接，延长交椭圆于点M1,延长交椭圆于点由三角形三边关系知
当且仅当与重合时取右等号、与重合时取左等号。
因为，所以,；
结论1：
设椭圆的左右焦点分别为,为椭圆内一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为,最小值为；
例2．,为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。
分析：
点在椭圆外，交椭圆于，此点使值最小，求最大值方法同例1。
解：
，连接并延长交椭圆于点M1，
则M在M1处时取最大值；
∴最大值是10+，最小值是。
结论2设椭圆的左右焦点分别为，为椭圆外一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为，最小值为;
2.二次函数法
例3．求定点到椭圆上的点之间的最短距离。
分析：
在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示，转化为的函数求最小值。
解：
设为椭圆上任意一点，
由椭圆方程知的取值范围是
（1）若，则时，
（2）若,则时
（3）若,则
结论3：
椭圆上的点到定点A（m,0）或B（0,n）距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。
3.三角函数法
例4．求椭圆上的点到直线的距离的最值；
解：
三角换元∵∴令
则
当时；当时,结论4：
若椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。
4.判别式法
例4的解决还可以用下面方法
把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。
解。
令直线将代入椭圆方程整理得，由△=0解得,时直线与椭圆切于点，
则到直线的距离为最小值，且最小值就是两平行直线与的距离，
所以；
时直线与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与l的距离，所以。
结论5：
椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。
例5.已知定点，点为椭圆的右焦点，点在该椭圆上移动时，求的最小值，并求此时点的坐标；（第二定义的应用）
例3．已知、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，试分别求：
（1）的最小值；
（2）的取值范围．
解：
（1），此时点为过点且垂直于的线段与椭圆的交点；
（2）由椭圆的定义知，故，
①，故
（当且仅当为有向线段的延长线与椭圆的交点时取“=”）；
②，故;
（当且仅当为有向线段的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）
综上可知，的取值范围为;
题型十一.轨迹问题
例1．到两定点，的距离之和为定值5的点的轨迹是（）
A．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．直线Ｄ．线段
例2．已知点，点在圆的上半圆周上（即y＞0），∠AOP的平分线交于Q，求点Q的轨迹方程。
例3.已知圆及点，是圆C上任一点，线段的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。
题型十二.椭圆与数形结合
例1．关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.
例2．求函数的最值。
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