-浙江省杭州市高一上期末数学试卷.doc
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2016-2017学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）
1．（3分）sin120°的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（ ）
A．（0，3） B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）
4．（3分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
5．（3分）函数y=的定义域是（ ）
A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1] D．（，1]
6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f
（2）=1，则f（﹣2）=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c
11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5
13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]
二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）
15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= ，∁UM= ．
16．（3分）（）+（）= ；log412﹣log43= ．
17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是 ；不等式f（x）＞1的解集是 ．
18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是 ．
19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为 ．
20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为 ．
三、解答题：
（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．
22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．
23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t（h）的函数解析式，并作出相应的图象．
24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．
（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；
（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．
2016-2017学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）
1．（3分）sin120°的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
【解答】解：
因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．
故选C．
2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：
∵sinα=，且α为第二象限的角，
∴cosα=﹣=﹣．
故选：
D．
3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（ ）
A．（0，3） B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）
【解答】解：
∵集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，
B={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，
∴A∩B={x|0＜x＜3}=（0，3）．
故选：
A．
4．（3分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
【解答】解：
∵函数f（x）=log3x+x﹣3，定义域为：
x＞0；函数是连续函数，
∴f
（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，
∴f
（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，
故选：
C．
5．（3分）函数y=的定义域是（ ）
A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1] D．（，1]
【解答】解：
要使函数有意义，则log0.5（3x﹣2）≥0，
即0＜3x﹣2≤1，得＜x≤1，
即函数的定义域为（，1]，
故选：
D
6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，
之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，
但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，
根据正常人的心率约为65，可排除D，
只有C符合，
故选：
C
7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【解答】解：
∵函数f（x）=，
∴f（5）=f（3）=f
（1）=2．
故选：
C．
8．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f
（2）=1，则f（﹣2）=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：
∵函数y=f（2x）+2x是偶函数，
∴设g（x）=f（2x）+2x，
则g（﹣x）=f（﹣2x）﹣2x=g（x）=f（2x）+2x，
即f（﹣2x）=f（2x）+4x，
当x=1时，f（﹣2）=f
（2）+4=1+4=5，
故选：
A
9．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【解答】解：
f（﹣x）=|sin（﹣x）+cos（﹣x）|+|sin（﹣x）﹣cos（﹣x）|=|﹣sinx+cosx|+|﹣sinx﹣cosx|
=|six+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），
则函数f（x）是偶函数，
∵f（x+）=|sin（x+）+cos（x+）|+|sin（x+）﹣cos（x+）|
=|cosx﹣sinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），
∴函数f（x）的周期是，
故选：
D
10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c
【解答】解：
如图所示，
∵＞π﹣2＞1＞0，
∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，
∵，
∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．
综上可得：
sin2＞sin1＞sin3．
故选B．
11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【解答】解：
∵y=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，
∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2x﹣）的图象．
故选：
B．
12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5
【解答】解：
函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，
可得：
，解得：
1＜a≤3．
故选：
B．
13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：
根据定义作出函数f（x）的图象如图：
（蓝色曲线），
其中A（1，1），B（3，3），
即f（x）=，
当f（x）=时，当x≥3或x≤1时，由3﹣|x﹣3|=，得|x﹣3|=，
即xC=或xG=，
当f（x）=时，当1＜x＜3时，由x2﹣3x+3=，得xE=，
由图象知若f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为xE﹣xC=﹣=，
故选：
B．
14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]
【解答】解：
对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m⇔m≤f（x）max，x∈[1，4]．
令u（x）=﹣ax，∵a＞0，∴函数u（x）在x∈[1，4]单调递减，
∴u（x）max=u
（1）=4﹣a，u（x）min=1﹣4a．
①a≥4时，0≥4﹣a＞1﹣4a，则f（x）max=4a﹣1≥15．
②4＞a＞1时，4﹣a＞0＞1﹣4a，则f（x）max={4﹣a，4a﹣1}max＞3．
③a≤1时，4﹣a＞1﹣4a≥0，则f（x）max=4﹣a≥3．
综上①②③可得：
m≤3．
∴实数m的取值范围为（﹣∞，3]．
故选：
D．
二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）
15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= {2，3，4，5} ，∁UM= {1，5，6} ．
【解答】解：
集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；
∁UM={1，5，6}，
故答案为：
{2，3，4，5}，{1，5，6}
16．（3分）（）+（）= 3 ；log412﹣log43= 1 ．
【解答】解：
（）+（）
=
=；
log412﹣log43=．
故答案为：
3，1．
17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是 ；不等式f（x）＞1的解集是 ．
【解答】解：
由正切函数的周期公式得函数的周期T=；
由f（x）＞1得tan（2x﹣）＞1，
得+kπ＜2x﹣＜+kπ，得+＜x＜+，k∈Z，
即不等式的解集为；
故答案为：
，；
18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是 （﹣4，﹣2）∪（0，2） ．
【解答】解：
设h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），
∴h（x）是奇函数，
由图象可知：
当﹣4＜x＜﹣2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＞0，
当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，
∴h（x）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．
故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）
19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为 ﹣1 ．
【解答】解：
∵x∈（﹣a，+∞），
∴当﹣a＜x＜1﹣a时，y=ln（x+a）＜0，
当x＞1﹣a时，y=ln（x+a）＞0，
又（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，
①若a＞0，y=ax+2与y=ln（x+a）均为定义域上的增函数，
在x∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；
②若a=0，则2lnx）≤0对x∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；
∴a＜0．
作图如下：
由图可知，当且仅当方程为y=ln（x+a）的曲线与方程为y=ax+2的直线相交于点A，
即满足时，（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，
解方程得，解得a=﹣1．
故答案为：
﹣1．
20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为 16 ．
【解答】解：
∵令t=f（x），则y=g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a=t2﹣at+2a，
∵g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，
故t2﹣at+2a=0有两个根t1，t2，且t1+t2=a，t1t2=2a，
且f（x1），f（x2），f（x3），f（x4）恰两两相等，为t2﹣at+2a=0的两根，
不妨令f（x1）=f（x2）=t1，f（x3）=f（x4）=t2，
则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]
=（2﹣t1）•（2﹣t1）•（2﹣t2）•（2﹣t2）
=[（2﹣t1）•（2﹣t2）]2=[4﹣2（t1+t2）+t1t2]2=16．
故答案为：
16
三、解答题：
（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．
【解答】
（1）解：
由得，，
所以；
（2）证明：
定义域是[0，+∞），设任意的x2＞x1≥0，
则，
∵，
∴f（x2）＞f（x1），
函数f（x）在定义域上是增函数．
22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．
【解答】解：
（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）
得，又﹣π＜φ＜0，所以取k=﹣1，得（2分）
所以，（1分）
由，得，k∈Z
所以函数y=f（x）的单调递增区间是得（k∈Z），（2分）
（2）当时，，所以，（2分）
所以log2k=﹣f（x）∈[﹣1，2]，得．（3分）
23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t（h）的函数解析式，并作出相应的图象．
【解答】解：
（1）阴影部分的面积为：
50+70+90+60=270，
表示汽车在4小时内行驶的路程为270km．（4分）
（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，
汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t（h）的函数解析式为：
（4分）
图象如下图：
（4分）
24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．
（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；
（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．
【解答】解：
（1）方法一：
当a=﹣1时，（2分）
由f（x）=1得或（2分）
解得x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）
方法二：
当a=﹣1时，由f（x）=1得：
（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0（3分）
∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2
即解集为{0，1，﹣2}．（3分）
（2）
当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵，
∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0
得，（2分）
且
先判断2﹣a，与大小：
∵，即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．（2分）
当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵，
∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0
得，
同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．（2分）
综上可知当时，f（x）存在三个不同零点．
且
设，易知g（a）在上单调递增，
故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）．（2分）
第17页（共18页）
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