高三二模徐汇、松江、金山数学文word版含答案.doc
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2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷（文科试卷）
（考试时间：
120分钟，满分150分） 2012.4
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1、已知，则.
2、在中，已知，则角的大小为.
3、若直线的法向量，且经过点，则直线的方程为.
4、已知集合，函数的定义域为集合，则=.
A
A1
BA
CA
C1
B1
第10题
5、某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：
成绩
人数
40
1
1
50
60
2
2
1
3
70
80
90
则总体标准差的点估计值是.（精确到）
6、若函数图像与函数的图像关于
直线对称，则＿＿＿＿＿＿＿＿.
7、若，其中都是实数，是虚数单位，则=.[来源:
学科网ZXXK]
8、的二项展开式中，常数项的值是.
9、在等比数列中，，若，则的最小值为.
10、如图：
已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，过顶点作底面的垂线，若垂足为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为.
11、5名学生报名参加两项社会实践活动，每个学生都要报名且只报一项，那么每项活动都至少有两名学生报名的概率为___________.（结果用最简分数表示）
12、已知点,抛物线的焦点为,准线为，线段交抛物线于点，过作准线的垂线，垂足为，若,则.
13、已知为坐标原点，点，若点为平面区域内的一个动点，则的最大值与最小值之差为______________.
14、若函数（）满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为_______.
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15、条件甲：
函数的图像关于原点对称；条件乙：
函数是奇函数，则甲是乙的（）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
第18题图
（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件
16、以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）
（A）（B）
（C）（D）
17、设为坐标平面上三点，为坐标原点.若与在上的投影相同，则与满足的关系式为（）
（A）（B）（C）（D）
18、若框图所给的程序运行的结果为，那么判断框中应填入的关于的判断条件错误的是（）
（A）（B）（C）（D）
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19、（本题满分12分）第
（1）小题满分4分，第
（2）小题满分8分.
在中，角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求；
（2）求的值.
20、（本题满分14分）第
（1）小题满分6分，第
（2）小题满分8分.
在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为.
（1）求棱的长；
（2）求此几何体的表面积，并画出此几何体的主视图和俯视图
（写出各顶点字母）.
[来源:
学科网]
21、（本题满分14分）第
（1）小题满分6分，第
（2）小题满分8分.
已知函数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
[来源:
学科网]
[来源:
学科网]
22、（本题满分16分）第
（1）小题满分4分，第
（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.
已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线上的点到两条渐近线的距离分别为，求的值；
（3）过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，求的值.[来源:
学科网ZXXK]
23、（本题满分18分）第
（1）小题满分4分，第
（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.
如果存在常数使得数列满足：
若是数列中的一项，则也是数列中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.
（1）若数列：
是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；
（2）若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：
数列的前项和；
（3）已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，试判断数列是否是“兑换数列”？
如果是的，给予证明，并用和表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由.
[来源:
学|科|网]
[来源:
学科网ZXXK]
2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷[来源:
学#科#网]
文科试卷参考答案及评分标准（2012.4）
一．填空题：
1．2．3．4.5．
6．7．8．9．10．
11．12．13．14．
二．选择题：
15．C16．D17．A18．D
三．解答题:
19．解：
（1）在中，由正弦定理得
将代入上式得，…………………2分
解得；………………………………………………4分
（2）中，,且为钝角，所以…………………6分
……………………………………………8分
……………………………………………10分
所以…………………………………12分
20．解：
（1）设，则--------------------2’
主视图
左视图
俯视图
，解得：
-----------------------6’
（2）
---------------------------10’
主视图与俯视图各得2分.
21．解：
（1）…………………2分
因为，所以，…………………4分
故函数的值域为…………………6分
（2）由得
令，因为，所以
所以对一切的恒成立…………………8分
①当时，；…………………9分[来源:
Zxxk.Com]
②当时，恒成立，即…………………11分
因为，当且仅当，即时取等号…………………12分
所以的最小值为…………………13分
综上，…………………14分
22．解：
（1）设的坐标分别为-------------------1分
因为点在双曲线上，所以，即，所以------------2分
在中，，，所以------------3分
由双曲线的定义可知：
故双曲线的方程为：
-------------------4分
（2）由条件可知：
两条渐近线分别为-------------------5分
设双曲线上的点，
则点到两条渐近线的距离分别为-------------------7分
所以-------------------8分
因为在双曲线：
上，所以-------------------9分
故-------------------10分
（3）解一：
因为为圆：
上任意一点，设
所以切线的方程为：
-------------------12分
代入双曲线：
两边除以，得-------------------13分
设，则是上述方程的两个根
由韦达定理知：
，即-------------------15分
所以-------------------16分
解二：
设，切线的方程为：
-------------------12分
①当时，切线的方程代入双曲线中，化简得：
所以：
-------------------13分
又
所以-----------15分
②当时，易知上述结论也成立。
所以-------------------16分
23．解：
（1）因为数列：
是“兑换系数”为的“兑换数列”
所以也是该数列的项，且----------1分
故-------------------3分
即。
-------------------4分
（2）不妨设有穷数列的项数为
因为有穷数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，
所以也是该数列的项，-------------------5分
又因为数列是递增数列
-------------------6分
则-------------------8分
故-------------------10分
（3）数列是“兑换数列”。
证明如下：
[来源:
Z_xx_k.Com]
设数列的公差为，因为数列是项数为项的有穷等差数列
若，则
即对数列中的任意一项
-------------------12分
同理可得：
若，也成立，
由“兑换数列”的定义可知，数列是“兑换数列”；-------------------14分
又因为数列所有项之和是，所以，即-------------------18分
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