幻方常规解法汇总.docx
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幻方常规解法汇总
没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！
）。
奇数阶幻方（罗伯法）
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：
把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的（n×n－1）个数：
1、每一个数放在前一个数的右上一格；
2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：
17
24
1
8
15
23
5
7
14
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4
6
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20
22
10
12
19
21
3
11
18
25
2
9
双偶数阶幻方（对称交换法）
所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：
就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：
先看看4阶幻方的填法：
将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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15
16
内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
16
2
3
13
5
11
10
8
9
7
6
12
4
14
15
1
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
以8阶幻方为例：
（1）先把数字按顺序填。
然后，按4×4把它分割成4块（如图）
1
2
3
4
5
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7
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64
（2）每个小方阵对角线上的数字（如左上角小方阵部分），换成和它互补的数。
64
2
3
61
60
6
7
57
9
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10
56
8
58
59
5
4
62
63
1
单偶数阶幻方（象限对称交换法）
以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2
（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。
用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。
A象限的其它行则标出最左边的k格。
将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。
（注：
6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换），将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。
下面是6阶幻方的填法：
6＝4×1＋2，这时k＝1
三阶幻方的解法
第一种：
杨辉法：
九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。
1
24
357
68
9
294
753
618
第二种：
九宫图也是幻方的别称，三阶幻方就是著名的洛书，他的排列是：
：
“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央（9在上中，1在下中。
3在左中，7在右中，2在左上，4在右上，6在左下，8在右下）
第三种：
罗伯法：
最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样
816
357
492
四阶幻方的解法
1、先把这16个数字按顺序从小到到排成一个4乘4的方阵
2、内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即
（1，16）（4，13）互换
（6，11）（7，10）互换
162313
511108
97612
414151
另：
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
五阶幻方的解法：
罗伯法：
最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样。
17241815
23571416
46132022
101219213
11182529
（在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行,
所以1的右上方应该是第五行的第四个,
接下来在2的右上方填3,3的右上方应该是第三行第一个,所以在此填4,在4的右上方填5,
在5的下方填6,接着按前面五个数的填法依次填7,8,9,10;
在10的下方填11,然后按上面的方法填,
每次填五个数,直到完成.
无论从上到下还是从左到右都是五排,
所以每排的五个数之和为（1+2+3+4+…+25）÷5=65,
因此,你可以验算一下是否每个和都是65.
此法适合于一切奇阶幻方.）
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