江苏省扬州市2015-2016学年高二上学期期末考试数学试卷.doc
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扬州市2015-2016学年高二上学期期末考试
数学试卷
（全卷满分160分，考试时间120分钟）2016．01
注意事项：
1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．命题“”的否定是▲．
Readx
Ifx＜0then
Else
Endif
Printy
第4题图
2．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为▲．
3.在区间上任取一个实数，则的概率是▲．
4.根据如图所示的伪代码，如果输入的值为0，则输出结果
y为▲．
5．若，则▲．
6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一
张（不放回），两人都中奖的概率为▲．
7．如右图，该程序运行后输出的y值为▲．
8．一个圆锥筒的底面半径为，其母线长为，则这个圆锥筒的体积为▲.
9．若双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，，则▲．
10．设，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，给出下列四个命题：
①若∥，，则；
②若∥，，，则∥；
③若，，则∥；
④若∥，，则．
其中真命题的序号有▲．（写出所有正确命题的序号）
11．已知抛物线的准线恰好是双曲线的左准线，则双曲线的渐近线方程为▲．
12．已知可导函数的导函数满足，则不等式的解集是▲．
13．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为，则该椭圆被直线截得的弦长为▲．
14．若，且函数在处取得极值，则的最大值等于▲．
二、解答题：
（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
某班名学生某次数学考试成绩（单位：
分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在之间）
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估算该班级的平均分；
（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．
16．（本小题满分14分）
如图，在四面体中，，．，，分别为棱，，的中点．
（1）求证：
平面；
（2）求证：
平面平面．
17．（本小题满分15分）
已知命题“存在”，命题：
“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题
（1）若“且”是真命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．
18．（本小题满分15分）
已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．
19．（本小题满分16分）
椭圆经过点，且离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点,直线的斜率为，直线的斜率为,求证：
；
x
O
B
P
A
y
（3）设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点不同的定点，使得恒成立？
若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知函数，
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的方程在区间上有两个不等的根，求实数的取值范围；
（3）若存在，当时，恒有，求实数的取值范围．
2016年1月高二数学
试题参考答案
一、填空题：
1．2．753．4．55．06．7．32
8.9．710．①④11．12．13．14．2
二、解答题：
15．解:
（1）由题,,--------2分
∴,--------4分
（2）该班级的平均分为76.5----9分
（3）此人成绩为优秀等级的概率为0.4……14分
16．证明：
（1）因为，分别为棱，的中点，
所以，……3分
又平面，平面，
故平面．……7分
（2）因为，分别为棱，的中点，所以，
又，，故，
．……9分
因为，平面，所以平面
又平面，所以平面平面．……14分
（注：
若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“平面”，扣1分．）
17．解：
（1）若为真：
--------1分
解得--------2分
若为真：
则------3分
解得--------4分
若“且”是真命题，则--------6分
解得--------7分
（2）由是的必要不充分条件，则可得-------11分
即（等号不同时成立）-------13分
解得--------15分
18．解：
（1）＝－3x2＋6x＋9,切线的斜率为9，所以在处的切线方程为
，即.--------6分
（2）令＝－3x2＋6x＋9=0,得（舍）或
当时，，所以在时单调递减，当时，所以在时单调递增，又＝，＝，
所以>．因此和分别是在区间上的最大值和最小值，于是有，解得．--------12分
故，因此
即函数在区间上的最小值为．--------15分
19.解：
（1），解得.所以椭圆E的方程为．---4分
（2）设，则．
由题意
．
若，则，结论成立．（此处不交代扣1分）
．--------10分
备注：
本题用相似三角形有关知识证明同样给分，用韦达定理解决也相应给分.
（3）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在定点满足条件，则有，即，所以在轴上，可设点的坐标为.
当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于两点，则的坐标分别为．由，有，解得．所以，若存在不同于点不同的定点满足条件，则点坐标只可能为.--------12分
下面证明：
对任意直线，均有．记直线的斜率为，直线的斜率为，设，则．由题意．
若，则．
．
易知，点于轴对称的点的坐标为.三点共线．
．所以对任意直线，均有--------16分
20.解：
（I），．由得解得．
故的单调递减区间是．--------4分
（2）设，则问题转化为在上有两个不同的零点；
因为．故当时，，当时，，所以在递增.，在上单调递减.；则由题意得：
，即
故--------10分
（3）当时，令，．则有．当时，，当时，，所以在递增.，在上单调递减.，
对任意的恒有，故不存在满足题意．--------12分
当时,对于,有,，从而不存在满足题意--------13分
当时，令，，则有．
由得，．
解得，
．
当时，，故在内单调递增．从而当时，，即.
综上，的取值范围是.--------16分
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