历年高考数学圆锥曲线试题汇总3解答题.doc

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高考数学试题分类详解——圆锥曲线

三、解答题

1.（2009年广东卷●文●）（本小题满分14分）

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:

的圆心为点.

（1）求椭圆G的方程

（2）求的面积

（3）问是否存在圆包围椭圆G?

请说明理由.

【解析】

（1）设椭圆G的方程为：

（）半焦距为c;

则,解得,

所求椭圆G的方程为：

.

（2）点的坐标为

（3）若，由可知点（6，0）在圆外，

若，由可知点（-6，0）在圆外；

不论K为何值圆都不能包围椭圆G.

2.（2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效）

如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。

（I）求得取值范围；

（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标

分析：

（I）这一问学生易下手。

将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）

抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：

方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．

（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。

因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点．

设四个交点的坐标分别为、、、。

则由（I）根据韦达定理有，

则

令，则下面求的最大值。

方法一：

利用三次均值求解。

三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。

它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

当且仅当，即时取最大值。

经检验此时满足题意。

方法二：

利用求导处理，这是命题人的意图。

具体解法略。

下面来处理点的坐标。

设点的坐标为：

由三点共线，则得。

以下略。

3.（2009浙江理）（本题满分15分）已知椭圆：

的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．

（I）求椭圆的方程；

（II）设点在抛物线：

上，在点处

的切线与交于点．当线段的中点与的中

点的横坐标相等时，求的最小值．

解析：

（I）由题意得所求的椭圆方程为，

（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，

设线段MN的中点的横坐标是，则，

设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；

当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．

4.（2009浙江●文●）（本题满分15分）已知抛物线：

上一点到其焦点的距离为．

（I）求与的值；

（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．

解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：

，根据抛物线定义

点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得

抛物线方程为：

，将代入抛物线方程，解得

（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。

则，当则。

联立方程，整理得：

即：

，解得或

，而，直线斜率为

，联立方程

整理得：

，即：

，解得：

，或

，

而抛物线在点N处切线斜率：

MN是抛物线的切线，，整理得

，解得（舍去），或，

5.（2009北京●文●）（本小题共14分）

已知双曲线的离心率为，右准线方程为。

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.

【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得，解得，

∴，∴所求双曲线的方程为.

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，

由得（判别式）,

∴,

∵点在圆上，

∴，∴.

6.（2009北京理）（本小题共14分）

已知双曲线的离心率为，右准线方程为

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交

于不同的两点，证明的大小为定值.

【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得，解得，

∴，∴所求双曲线的方程为.

（Ⅱ）点在圆上，

圆在点处的切线方程为，

化简得.

由及得，

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，且，

设A、B两点的坐标分别为，

则，

∵，且

，

.

∴的大小为.

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）点在圆上，

圆在点处的切线方程为，

化简得.由及得

①

②

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，设A、B两点的坐标分别为，

则，

∴，∴的大小为.

（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.

7.（2009江苏卷）（本题满分10分）

在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。

【解析】[必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。

满分10分。

8.（2009山东卷理）（本小题满分14分）

设椭圆E:

（a,b>0）过M（2，），N（,1）两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？

若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。

解:

（1）因为椭圆E:

（a,b>0）过M（2，），N（,1）两点,

所以解得所以椭圆E的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,

则△=,即

要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

因为,

所以,

①当时

因为所以,

所以,

所以当且仅当时取”=”.

②当时,.

③当AB的斜率不存在时,两个交点为或,所以此时,

综上,|AB|的取值范围为即:

【命题立意】:

本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.

9.（2009山东卷●文●）（本小题满分14分）

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

（2）已知,证明:

存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且（O为坐标原点）,并求出该圆的方程;

（3）已知,设直线与圆C:

（1

并求最大值.

解:

（1）因为,,,

所以,即.

当m=0时,方程表示两直线,方程为;

当时,方程表示的是圆

当且时,方程表示的是椭圆;

当时,方程表示的是双曲线.

（2）.当时,轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=,

即,即,且

要使,需使,即,

所以,即且,即恒成立.

所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为,,所求的圆为.

当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.

综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

（3）当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:

（1

（2）知,即①,

因为与轨迹E只有一个公共点B1,

由

（2）知得,

即有唯一解

则△=,即,②

由①②得,此时A,B重合为B1（x1,y1）点,

由中,所以,,

B1（x1,y1）点在椭圆上,所以,所以,

在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即

当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.

【命题立意】:

本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.

10.（2009江苏卷）（本小题满分16分）

在平面直角坐标系中，已知圆和圆.

（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：

存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。

满分16分。

（1）设直线的方程为：

，即

由垂径定理，得：

圆心到直线的距离，

结合点到直线距离公式，得：

化简得：

求直线的方程为：

或，即或

（2）设点P坐标为，直线、的方程分别为：

，即：

因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。

由垂径定理，得：

：

圆心到直线与直线的距离相等。

故有：

，

化简得：

关于的方程有无穷多解，有：

解之得：

点P坐标为或。

11.（2009全国卷Ⅱ●文●）（本小题满分12分）

已知椭圆C:

的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B

两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

解析：

本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

解：

（Ⅰ）设当的斜率为1时，其方程为到的距离为

故，

由

得，=

（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。

由（Ⅰ）知C的方程为+=6.设

（ⅰ）

　C成立的充要条件是，且

整理得

故①

将

于是,=,

代入①解得，，此时

于是=，即

因此，当时，，；

当时，，。

（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。

综上，C上存在点使成立，此时的方程为

.

12.（2009广东卷理）（本小题满分14分）

已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．

（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；

（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．

解：

（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，

∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.

xA

xB

D

（2）曲线，

即圆：

，其圆心坐标为，半径

由图可知，当时，曲线与点有公共点；

当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.

13.（2009安徽卷理）（本小题满分13分）

点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.

（I）证明:

点是椭圆与直线的唯一交点；

（II）证明:

构成等比数列.

解：

本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。

考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。

本小题满分13分。

解：

（I）（方法一）由得代入椭圆,

得.

将代入上式,得从而

因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.

（方法二）显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得

即故P与Q重合。

（方法三）在第一象限内，由可得

椭圆在点P处的切线斜率

切线方程为即。

因此，就是椭圆在点P处的切线。

根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。

（II）的斜率为的斜率为

由此得构成等比数列。

14.（2009安徽卷●文●）（本小题满分12分）

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心。

椭圆短半轴长半径的

圆与直线y=x+2相切，

（Ⅰ）求a与b；

（Ⅱ）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交与点p..求线段P垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。

【思路】

（1）由椭圆建立a、b等量关系，再根据直线与椭圆相切求出a、b.

（2）依据几何关系转化为代数方程可求得，这之中的消参就很重要了。

【解析】

（1）由于∴∴又∴b2=2,a2=3因此，.

（2）由

（1）知F1，F2两点分别为（-1，0），（1,0），由题意可设P（1，t）.（t≠0）.那么线段PF1中点为，设M（x、y）是所求轨迹上的任意点.由于则消去参数t得

其轨迹为抛物线（除原点）

15.（2009江西卷●文●）（本小题满分14分）

如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆,其中为椭圆的左顶点.

（1）求圆的半径;

（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，

G

．

证明：

直线与圆相切．

解:

（1）设，过圆心作于,交长轴于

由得,

即

（1）

而点在椭圆上,

（2）

由

（1）、

（2）式得,解得或（舍去）

（2）设过点与圆相切的直线方程为:

（3）

则,即（4）

解得

将（3）代入得,则异于零的解为

设,，则

则直线的斜率为：

于是直线的方程为:

即

则圆心到直线的距离

故结论成立.

16.（2009江西卷理）（本小题满分12分）

已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.

（1）求线段的中点的轨迹的方程;

（2）设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:

以为直径的圆过两定点.

解：

（1）由已知得,则直线的方程为:

令得,即,

设,则,即代入得:

即的轨迹的方程为.

（2）在中令得,则不妨设,

于是直线的方程为:

直线的方程为:

则,

则以为直径的圆的方程为:

令得:

而在上,则,

于是,即以为直径的圆过两定点.

17.（2009天津卷●文●）（本小题满分14分）

已知椭圆（）的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且

（Ⅰ求椭圆的离心率

（Ⅱ）直线AB的斜率；

（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H（m,n）（）在的外接圆上，求的值。

【答案】

（1）

（2）（3）

【解析】

（1）解：

由，得,从而

，整理得，故离心率

（2）解：

由

（1）知，，所以椭圆的方程可以写为

设直线AB的方程为即

由已知设则它们的坐标满足方程组

消去y整理，得

依题意，

而，有题设知，点B为线段AE的中点，所以

联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得

（3）由

（2）知，，当时，得A由已知得

线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为

直线的方程为，于是点满足方程组由，解得，故

当时，同理可得

【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆的方程等基础知识。

考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。

18.（2009湖北卷理）（本小题满分14分）（注意：

在试题卷上作答无效）

过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。

（Ⅰ）当时，求证：

⊥；

（Ⅱ）记、、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。

若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

20题。

本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力。

（14分）

解：

依题意，可设直线MN的方程为，则有

由消去x可得

从而有①

于是②

又由，可得③

（Ⅰ）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线

此时①可得

证法1：

证法2：

（Ⅱ）存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：

证法1：

记直线与x轴的交点为,则。

于是有

将①、②、③代入上式化简可得

上式恒成立，即对任意成立

证法2：

如图2，连接,则由可得

所以直线经过原点O，

同理可证直线也经过原点O

又设则

19.（2009四川卷●文●）（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。

【解析】（I）由已知得，解得

∴

∴所求椭圆的方程为…………………………………4分

（II）由（I）得、

①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得

设、，

∴，这与已知相矛盾。

②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，

设、，

联立，消元得

∴，

∴，

又∵

∴

∴

化简得

解得

∴

∴所求直线的方程为…………………………………12分

20.（2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为

（I）求，的值；

（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。

解:

（I）设，直线，由坐标原点到的距离为

则，解得.又.

（II）由（I）知椭圆的方程为.设、

由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设

代入椭圆的方程中整理得，显然。

由韦达定理有：

．．．．．．．．①

.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：

点，点P在椭圆上，即。

整理得。

又在椭圆上，即.

故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

将及①代入②解得

=,即.

当;

当.

评析：

处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。

所谓“算”，主要讲的是算理和算法。

算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。

有时候算理和算法并不是截然区分的。

例如：

三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？

在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。

21.（2009湖南卷●文●）（本小题满分13分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点

为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。

解:

（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，

由题设条件知，所以

故椭圆C的方程为.

（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，

显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。

如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，

由得.……①

由解得.……②

因为是方程①的两根，所以，于是

=，.

因为，所以点G不可能在轴的右边，

又直线,方程分别为

所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为

即亦即

解得，此时②也成立.

故直线斜率的取值范围是

22.（2009福建卷理）（本小题满分13分）

已知A,B分别为曲线C：

+=1（y0,a>0）与x轴

的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上

异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；

（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：

是否存在,使得O,M,S三点共线？

若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。

19.【解析】

解法一：

（Ⅰ）当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.

（1）当∠BOT=60°时,∠SAE=30°.

又AB=2,故在△SAE中,有

（2）当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,

（Ⅱ）假设存在,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SB为直线的圆上,故.

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.

由

设点

故,从而.

亦即

由得

由,可得即

经检验,当时,O,M,S三点共线.故存在,使得O,M,S三点共线.