两角和与差的余弦公式优质公开课精品教案.doc
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两角和与差的余弦公式
一、教材地位和作用分析：
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。
二、学情分析：
本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。
他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。
三、教学目标：
1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。
2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。
四、教学重点和难点：
教学重点：
两角和与差的余弦公式的推导及应用。
教学难点：
两角和与差的余弦公式的推导。
五、教学工具：
多媒体
六、教学方法：
讲授法，探究法
七、教学过程：
教学过程
设计意图
基
础
练
习
1、判断是第几象限角？
它的正弦值与余弦值是多少？
它的终边与单位圆的交点坐标是什么？
2、若有两点，则AB两点间的距离是_____.
3、填值：
，．
4、？
提问：
1、角的终边与单位圆的交点坐标是什么？
如何研究角的三角比？
2、平面内两点，则AB两点的距离为
。
通过做题和简述每题所用知识点使学生回顾所学知识、为新课的推进做准备。
引
入
新
课
求的值有难度，先回答下列问题：
Q1：
可以用哪两个特殊角作差表示？
Q2：
可以用这两个特殊角的三角函数值作差表示吗？
我们知道，
先从猜一猜公式的结构形式，=？
怎么计算，是我们本节课所研究的问题。
【探究】公式的结构形式？
研究问题遵循从特殊到一般的规律，研究两角和与差的余弦公式也是。
先看几个特殊角，寻找规律：
猜想：
？
通过求解，引入对两角差的余弦公式的探讨
让学生通过特殊值在转化到一般情况，符合学生的认知规律。
公式推导
通过探究我们猜想得出的公式，从猜想到结论还需要严格的证明。
提问：
前面我们已经学习过任意角的三角比，那么该如何研究的三角比呢？
设、是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x轴的正方向重合，如图1，它们的终边、分别与单位圆相交于、两点。
图1
Q1：
你能用、的三角比表示A、B两点坐标吗？
Q2：
角度能用、表示吗？
Q3：
我们要研究的三角比，必须要把位置放在什么地方？
怎样达到目的？
答：
始边旋转到与x轴的正方向重合。
通过旋转达到目的。
Q4：
将终边、绕旋转，转到和的位置，则，的坐标是什么？
图2
Q5：
这两个图中，出现了、及的三角比，观察两图，旋转过程中哪些量不变，两图中哪些量与我们的研究目标有关，能否找到数量关系从而确定这些三角比之间的关系？
说明：
找到是难点，教师进行了适时点拨，学生找到了这个关键数量关系．
证明：
∵
∴
这个公式叫做两角差的余弦公式。
它对任意角和都成立。
第一关：
小试身手
请用特殊角分别代替公式中、，你能求哪些非特殊角的值呢？
（选择的特殊角可以是30°60°45°等）
（1）；
（2）；
（3）.
……
总结：
可以利用两角和与差的余弦公式求非特殊角的三角比。
Q6：
根据两角差的余弦公式你能说出的计算公式吗？
用代替，可得到两角和的余弦公式：
．
由此得到两角和与差的余弦公式：
Q7：
你能归纳上述两角和与差的余弦公式在结构上的特征吗？
（1）左右符号互异；
（2）ccss,“酷酷与帅帅”。
通过一系列问题的设置找出相等的数量关系，从而推导出公式
利用变量替换的方法得出两角和的余弦公式
归纳公式特征有利于学生记忆
例
题
精
讲
第二关：
温故知新
若固定，分别用代替，你将会发现什么结论呢？
总结：
诱导公式是两角和与差的余弦的特殊情况。
第三关：
各显神通
倘若让你对C（α±β）公式中的、自由赋值，你又将发现什么结论呢？
（1）
……
总结：
两角和与差的余弦公式是后面学习二倍角公式的基础。
下面通过两个例题，巩固一下今天所学的两角和与差的余弦公式。
例1、
变：
例2、已知，求的值。
变：
总结：
“变角的技巧”
让学生发现C（α±β）公式是诱导公式的推广。
二倍角公式，为以后学习做铺垫
例1让学生学会逆用公式
例2让学生学会正用公式，以及“变角”的方法
小
结
本节课学习了什么？
学生自行总结
作业布置
课后作业：
伴你成长第1课时
6
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