高二数学导数及其应用练习题.doc

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高二上学期《导数及其应用》

单元测试（数学文）

（满分：

150分时间：

120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）

1．函数的导数是（）

（A）（B）（C）（D）

2．函数的一个单调递增区间是（）

（A）（B）（C）（D）

3．已知对任意实数，有，且时，，则时（）

A． B．

C． D．

4．若函数在内有极小值，则（）

（A）（B）（C）（D）

5．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）

A．B．C．D．

6．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

7．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（

ks5u

）

8．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（）

A．B．C．D．

9．设在内单调递增，，则是的（　　）

Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件

10．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）

（A）y

（B）

（C）

（D）O1234x

二．填空题（本大题共4小题，共20分）

11．函数的单调递增区间是＿＿＿＿．

12．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿．

13．点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是

14．已知函数

（1）若函数在总是单调函数，则的取值范围是.

（2）若函数在上总是单调函数，则的取值范围.

（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数的取值范围是.

ks5u

三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）

15．用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：

1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？

最大体积是多少？

16．设函数在及时取得极值．

（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

ks5u

17．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点，.求

（Ⅰ）求点的坐标；

（Ⅱ）求动点的轨迹方程.

ks5u

18. 已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.

ks5u

19．已知

（1）当时，求函数的单调区间。

（2）当时，讨论函数的单调增区间。

（3）是否存在负实数，使，函数有最小值－3？

ks5u

20．已知函数，，其中．

（1）若是函数的极值点，求实数的值；

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

ks5u

高二上学期《导数及其应用》

单元测试（数学文）答案

一、选择题

1．;

2．，选（A）

3.（B）数形结合

4.A由,依题意，首先要求b>0,所以

由单调性分析，有极小值，由得.

5．解：

与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在（1，1）处导数为4，此点的切线为，故选A

6．（D）

7．（D）

8．（C）

9．（B）

10．B设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A处的切线为AT

点B处的切线为BQ， T

如图所示，切线BQ的倾斜角小于

直线AB的倾斜角小于Q

切线AT的倾斜角

O1234x

所以选B

二、填空题

11．

12．32

13．

14.

（1）

ks5u

三、解答题

15.解：

设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为

故长方体的体积为

从而

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m.

答：

当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3。

16．解：

（1），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

（2）由（Ⅰ）可知，，

．

当时，；

当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．

因为对于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范围为．

17．解:

（1）令解得

当时,,当时,,当时,

所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,

所以,点A、B的坐标为.

（2）设，，

，所以，又PQ的中点在上，所以

消去得.

另法：

点P的轨迹方程为其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，2）关于y=2（x-4）的对称点为（a,b）,则点Q的轨迹为以（a,b）,为圆心，半径为3的圆，由，得a=8,b=-2

ks5u

18．解

（1）………………………2分

∴曲线在处的切线方程为，即；……4分

（2）记

令或1.…………………………………………………………6分

则的变化情况如下表

ks5u

极大

极小

当有极大值有极小值.………………………10分

由的简图知，当且仅当

即时，

函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.

所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.…………14分

ks5u

19．

（1）或递减;递增;

（2）1、当

递增;2、当递增;3、当或递增;当递增;当或递增;（3）因由②分两类（依据：

单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：

1、当递增，，解得

2、当由单调性知：

，化简得：

，解得

不合要求；综上，为所求。

ks5u

20．

（1）解法1：

∵，其定义域为，

∴．

∵是函数的极值点，∴，即．

∵，∴．

经检验当时，是函数的极值点，

∴．　

解法2：

∵，其定义域为，

∴．

令，即，整理，得．

∵，

∴的两个实根（舍去），，

当变化时，，的变化情况如下表：

—

ks5u

＋

极小值

依题意，，即，

∵，∴．

（2）解：

对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．

当［1，］时，．

∴函数在上是增函数．

∴．

∵，且，．

①当且［1，］时，，

∴函数在［1，］上是增函数，

∴.

由≥，得≥，

又，∴不合题意．

ks5u

②当1≤≤时，

若1≤＜，则，

若＜≤，则．

∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴.

由≥，得≥，

又1≤≤，∴≤≤．

③当且［1，］时，，

∴函数在上是减函数．

∴.

由≥，得≥，

又，∴．

综上所述，的取值范围为．

ks5u

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