高一数学《函数奇偶性》教案.doc

高一数学《函数奇偶性》教案.doc

《高一数学《函数奇偶性》教案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学《函数奇偶性》教案.doc（6页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

第三节函数奇偶性（高一秋季班组第五次课10.05）

一．教学目标

1.了解奇偶函数的概念，会判断函数奇偶性；

2.奇偶性的应用

3.奇偶性与单调性综合

二．教学内容

1.偶函数：

一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。

奇函数：

一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。

奇偶性：

如果函数是奇函数或偶函数，那么就说明函数具有奇偶性。

正确理解函数奇偶性的定义：

定义是判断或讨论函数奇偶性的依据，由定义知，若是定义域中的一个数值，那么-也必然在定义域中，因此，函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：

定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。

换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。

无奇偶性函数是非奇非偶函数；若一个函数同时满足奇函数与偶函数的性质，则既是奇函数，又是偶函数。

两个奇偶函数四则运算的性质：

①两个奇函数的和仍为奇函数；②两个偶函数的和仍为偶函数；③两个奇函数的积是偶函数；④两个偶函数的积是偶函数；⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

例1.判别下列函数的奇偶性：

f（x）＝|x＋1|+|x－1|;f（x）＝;f（x）＝x＋;f（x）＝;f（x）＝x,x∈[-2,3]

思考：

f（x）=0的奇偶性？

练习1.判断下列函数的奇偶性．

（1）f（x）＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；

（2）f（x）＝；

（3）f（x）＝（x－1）；（4）f（x）＝

2．奇函数y＝f（x）（x∈R）的图像必过点（　C　）

A．（a，f（－a））B．（－a，f（a））C．（－a，－f（a）） D．（a，f（））

解析　∵f（－a）＝－f（a），即当x＝－a时，函数值y＝－f（a），∴必过点（－a，－f（a））．

3．已知f（x）为奇函数，则f（x）－x为（　A　）

A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数

解析　令g（x）＝f（x）－x，g（－x）＝f（－x）＋x＝－f（x）＋x＝－g（x）．

4．设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（　A　）

A．f（x）＋|g（x）|是偶函数B．f（x）－|g（x）|是奇函数

C．|f（x）|＋g（x）是偶函数D．|f（x）|－g（x）是奇函数

解析　由f（x）是偶函数，可得f（－x）＝f（x）．由g（x）是奇函数，可得g（－x）＝－g（x）．

由|g（x）|为偶函数，∴f（x）＋|g（x）|为偶函数．

5.设f（x）＝ax＋bx＋5，已知f（－7）＝－17,求f（7）的值。

6.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）－g（x）＝，求f（x）、g（x）。

7．设f（x）是偶函数，g（x）为奇函数，又f（x）＋g（x）＝，则f（x）＝________，g（x）＝________.

答案　，

解析　∵f（x）＋g（x）＝，　①∴f（－x）＋g（－x）＝.又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，∴f（x）－

g（x）＝.　②①＋②，得f（x）＝，①－②，得g（x）＝

8.已知函数f（x），对任意实数x、y，都有f（x+y）＝f（x）＋f（y），试判别f（x）的奇偶性。

9.已知f（x）是奇函数，且在[3，7]是增函数且最大值为4，那么f（x）在[-7，-3]上是函数，且最值是。

10.已知函数f（x）=ax+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。

11.设函数为奇函数，则　　　　．

12．设f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，则f（7.5）＝________.

答案　－0.5

13．设f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的奇函数，且x>0时，f（x）＝x2＋1，则f（－2）＝________.

答案　－5解析　由f（x）在（－∞，＋∞）上是奇函数，得f（－x）＝－f（x），即f（－2）＝－f

（2），而f

（2）＝

22＋1＝5.∴f（－2）＝－5.

2.奇函数、偶函数的图像的性质：

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的对称图形（奇函数的图像不一定过原点）；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。

由于奇函数的图像关于原点对称，那么我们可以得出结论：

如果奇函数的定义域为R时，那么必有。

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数。

f（x）＝f（|x|）

例2.是偶函数，图像与轴有四个交点，则方程所有实根之和是（）

（A）4 （B）2 （C）1 （D）0

练习1.若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（）

（A） （B） （C）　 （D）（－2，2）

2.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）

（A）（B）[来源:

Zxxk（C） （D）

3.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，

则=________________．

4.已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（）

（A） （B） （C） （D）

5.下面四个结论：

①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定通过原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）．其中正确命题的个数是（　a　）

A．1　　　　　　B．2C．3D．4

3.函数的奇偶性与单调性之间的关系：

一般地，若为奇函数，则在和上具有相同的单调性；若为偶函数，则在和上具有相反的单调性。

若奇函数f（x）在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f（x）在[－b，－a]上增函数，且有最小值-M.

例3.定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，求实数的取值范围。

练习1．定义在[－2,2]上的偶函数f（x）在区间[0,2]上是减函数，若f（1－m）

答案　m∈[－1，）

解析　∵f（x）为偶函数，∴f（1－m）

∴|1－m|>|m|，两边平方，得m<，又f（x）定义域为[－2,2]，

∴解之得－1≤m≤2，综上得m∈[－1，）．

2,设定义在[－2,2]上的奇函数f（x）在区间[0,2]上单调递减，若f（m）＋f（m－1）>0，求实数m的取值范围．

【解析】　由f（m）＋f（m－1）>0，得f（m）>－f（m－1），即f（m）>f（1－m）．

又∵f（x）在[0,2]上为减函数且f（x）在[－2,2]上为奇函数，∴f（x）在[－2,2]上为减函数．

∴解得∴－1≤m<.

3.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1<0，且x1＋x2>0，则（　A　）

A．f（x1）>f（－x2）B．f（－x1）＝f（－x2）C．f（－x1）

4..若偶函数f（x）在区间（－∞，－1]上是增函数，则（　c　）

A．f（－1）

（2）B．f（－1.5）

（2）

C．f

（2）

（2）

5．若函数y＝f（x），x∈R是奇函数，且f

（1）

（2），则必有（　B　）

A．f（－1）f（－2）C．f（－1）＝f（－2） D．不确定

6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且有f（3）>f

（1）．则下列各式中一定成立的是（　A　）

A．f（－1）f

（2） D．f

（2）>f（0）

解析　∵f（x）为偶函数，∴f（－3）＝f（3），f（－1）＝f

（1），又f（3）>f

（1），∴f（－3）>f（－1），f（3）>f（－1）都成立．

7．设f（x）为定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，且f（x）在[0，＋∞）上为增函数，则f（－2），f（－π），f（3）则大小顺序是（　a　）

A．f（－π）>f（3）>f（－2）B．f（－π）>f（－2）>f（3）C．f（－π）

解析　∵f（x）为偶函数，∴f（－2）＝f

（2），f（－π）＝f（π）．又f（x）在[0，＋∞）上为增函数，∴f

（2）

f（－π），∴f（－2）

8．若奇函数f（x）当1≤x≤4时的关系式是f（x）＝x2－4x＋5，则当－4≤x≤－1时，f（x）的最大值是（　D　）

A．5B．－5C．－2 D．－1

解析　当－4≤x≤－1时，1≤－x≤4，∵1≤x≤4时，f（x）＝x2－4x＋5.

∴f（－x）＝x2＋4x＋5，又f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），

∴f（x）＝－x2－4x－5＝－（x＋2）2－1,当x＝－2时，取最大值－1.

9．若奇函数f（x）在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f（－6）＋f（－3）的值为________.答案　－15

10．若函数f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数，则满足f（π）

答案　（－π，π）

解析　若a≥0，f（x）在[0，＋∞）上是减函数，且f（π）

若a<0，∵f（π）＝f（－π）,则由f（x）在[0，＋∞）上是减函数，得知f（x）在（－∞，0]上是增函数．

由于f（－π）－π，即－π