高中数学人教A版必修三第一章算法初步知识点总结及典型例题分析.doc

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新课标人教A版必修3第一章

算法初步知识点总结及典型题归类解析

一、算法设计

（一）基本知识点

算法的描述一般有三种方法:

自然语言、算法框图（也叫流程图）和程序语言.

（二）典型习题举例

1、例1下列关于算法的说法正确的有________个．（　　）

①求解某一类问题的算法是惟一的．

②算法必须在有限步操作之后停止．

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊．

④算法执行后一定产生确定的结果．

A．1　　　　 B．2　　　　

C．3　　　　 D．4　

解析：

C由算法特性知，算法具有有穷性、确定性、可输出性，故②③④均对，选C.

2．例2已知两个单元分别存放了变量x和y，下面描述交换这两个变量的值的算法中正确的为（　　）

A．S1　把x的值给y；S2　把y的值给x.

B．S1　把x的值给t；S2　把t的值给y；S3　把y的值给x.

C．S1　把x的值给t；S2　把y的值给x；S3　把t的值给y.

D．S1　把y的值给x，S2　把x的值给t；S3　把t的值给y.

解析：

C　为了达到交换的目的，需要一个中间变量t，通过t使两个变量来交换．

S1　先将x的值赋给t（这时存放x的单元可以再利用）；

S2　再将y的值赋给x（这时存放y的单元可以再利用）；

S3　最后把t的值赋给y，两个变量x和y的值便完成了交换．

方法小结：

　这好比有一碗酱油和一碗醋．我们要把这两碗盛装的物品交换过来，需要一个空碗（即t）；先把醋（或酱油）倒入空碗，再把酱油（或醋）倒入原来盛醋（或酱油）的碗，最后把倒入空碗中的醋（或酱油）倒入原来盛酱油（或醋）的碗，就完成了交换．

3．例3请说出下面算法要解决的问题________．

第一步，输入三个数，并分别用a、b、c表示；

第二步，比较a与b的大小，如果a

第三步，比较a与c的大小，如果a

第四步，比较b与c的大小，如果b

第五步，输出a、b、c.

答：

　输入三个数a，b，c，并按从大到小顺序输出．

解析：

第一步是给a、b、c赋值．

第二步运行后a>b.

第三步运行后a>c.

第四步运行后b>c，∴a>b>c.

第五步运行后，显示a、b、c的值，且从大到小排

二、算法框图及其画法

（一）基本知识点

（1）对于比较简单的算法框图,可以通过对问题的分析,建立相应的数学模型或过程模型,进而选择顺序结构、选择结构、循环结构中的一种或几种画出算法框图即可.

开始

n=2

输出n

n=n+3

n>2010

结束

是

否

图1

（3）顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构;条件结构主要用于一些需要进行条件判断的算法,如分段函数求值、大小关系判断等;循环结构主要用于一些有规律的重复计算,如累加求和、累乘求积等。

（二）典型习题举例

1、例1如图1所示的算法框图中,最后一个输出的数是

解析：

此算法框图为循环结构,

分析框图易知该算法的功能是

输出2010以内除以3余2的正整数,

即输出的数分别为2,5,…,2006,2009,

从而可得最后一个输出的数是2009.故填2009.

2、例2.如果执行图1的框图，输入N=5，则输出的数等于（）

A．B.C.D.

方法点拨：

该框图含有循环结构，弄清循环体、变量的初始条件和循环的中止条件，算法功能是求和．

解析：

由程序框图可知，该程序框图的功能计算，

现在输入的N=5，所以满足条件的，故选D．

否

是

开始

输入

k=1，S=0

输出S

结束

图1

小结：

本题是程序框图与数学计算的综合，

在计算时

可以让，

也可以让．

3、例3将两个数交换,使,下面语句正确一组是（）

b=a

a=b

a=b

b=a

c=b

b=a

a=c

a=c

c=b

b=a

ABCD

解：

B先把的值赋给中间变量，这样，

再把的值赋给变量，这样，

把的值赋给变量，这样

4、例4

（1）流程图

（1）的算法功能是__________．

（2）流程图

（2）的算法功能是____________．

（3）流程图（3）的算法功能是__________．

（4）流程图（4）的算法功能是___________．

解析：

（1）求输入的两个实数a与b的和．

（2）求以输入的两个正数a，b为直角边长的直角三角形斜边的长．

（3）求输入两数a，b的差的绝对值．

（4）求函数f（x）＝|x－3|＋1，

即分段函数f（x）＝的函数值．

5、例5已知函数,写出求该函数函数值的算法,并画出算法框图．

分析:

函数是分段函数,需根据x的不同取值选择不同的解析式,故应采用选择结构.

解：

算法如下：

第一步：

输入;

第二步,如果,那么使,输出,否则执行第三步;

第三步,如果,那么使,输出,否则执行第四步;

第四步,;

第五步,输出．

相应的算法框图如图2所示．

6、例6.已知函数

右图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框

图，①处应填写；②处应填写．

方法点拨：

分清两段的函数解析式与各自条件的对应关系．

解析：

由可知，

当时，对应的函数解析式为，

所以①处应填写，

则②处应填写.

规律总结：

对程序框图的考查是新课标高考热点之一．不管含什么结构的程序框图，首先要弄清算法功能．对于循环结构，要分清循环体、变量的初始条件和循环的中止条件，特别要注意循环终止时各变量的值．对条件结构，要善于判断，分清在什么条件下流向哪里．“求输出”就是求算法的运行结果，求“填写”就是在把握整个算法流程的基础上补全所缺算法流程，需要一定的判断及逆向想象能力．

（三）巩固练习

输入a,b,c,d

m=a+2b

n=2b+c

p=2c+3d

q=4d

输出m,n,p,q

开始

结束

图1

1.现代化信息时代,为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文（加密）,接收方由密文明文（解密）,已知加密规则如图1所示,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,解密得到的明文应为（）

A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7

2当时，下面的程序段输出的结果是（）

IFTHEN

else

PRINTy

ABCD

解：

D该程序揭示的是分段函数的对应法则

三、程序设计

（一）基本知识点

（1）算法设计和算法框图是程序设计的基础,我们可根据算法的三种逻辑结构,对应于五种不同功能的基本语句,进而完成程序设计.

（3）实际问题的程序设计一般是先对问题进行认真的分析,设计出合理的算法,然后将算法用框图表示出来,最后根据算法框图和基本语句写出程序．

（3）忽视各种语句的格式要求易致错.如:

条件语句必须以If语句开始,以EndIf语句结束,而在多个条件语句嵌套或并列使用时,往往会因粗心漏写部分EndIf,从而出错.

（4）忽视变量的取值范围易致错.写循环语句时,要特别注意循环变量、计数变量与累计变量的取值范围,只要其中一个变量的取值有误,程序就是错误的.如:

若计数变量范围有误,则往往会出现多一次或少一次循环的错误．

（二）典型习题举例

1、例1．下列所给的式子，前一个是算术式子，后一个是QBASIC语言中的对应式子，正确的有________个．（　　）

①e5：

e^5　　　　②3：

3^3/4③lg7：

LOG10（7）

④：

SQR（3）⑤|x－3|：

ABS（x－3）

A．1　　　　 B．2　　　　C．3　　　　 D．4

解析：

C在QBASIC语言中幂底数为e时有专用符号exp（　），如ex表达为exp（x）．∴e5应为exp（5）；

当幂指数为分式等代数式时，应加括号，乘方优先于乘除，∴3应为3^（3/4）；

常用对数的指令为LOG10（　），故（3）正确；④⑤都正确，∴选C.

2、例2．下列程序语言中表达式的值正确的是（　　）

A．6*SQR（4）+3^2*2=154

B．3*（5+4）+SQR（9）^2=17

C．[5+3*（12-7）]/4=5

D．（2+3）*5-4+2*3*SQR（4）^2=72

解析：

选C.A中，6＋32×2＝12＋18＝30；

B中，3×9＋（）2＝36；

C中，[5＋3（12－7）]÷4＝（5＋15）÷4＝5；

D中，5×5－4＋2×3×（）2＝45.

3、例3执行下面语句的过程中，执行循环体的次数是（）

i=1

Do

i=i+1

i=i*i

LoopWhilei<10

输出i.

A.2B.0C.3D.1

分析:

该程序的执行过程是:

第一次执行循环体:

i=1,i=i+1=2,i=i*i=4,i=4<10成立;

第二次执行循环体:

i=4,i=i+1=5,i=i*i=25,i=25<10不成立,退出循环,

故共执行循环体2次.选A.

小结:

此类题目主要考查同学们对算法语句的阅读能力，只要按部就班地将程序运行下去，问题便自然获解.

4、例4．（2010·辽宁锦州）下面的程序框图，输出的结果为（　　）

A．1 B．2C．4 D．16

解析：

D　运行过程为：

a＝1≤3→b＝21＝2，a＝1＋1＝2，

a＝2≤3成立→b＝22＝4，a＝2＋1＝3，

a＝3≤3成立→b＝24＝16，a＝3＋1＝4，

此时a≤3不成立，输出b＝16.

5、例5．下面程序运行后输出结果是3，则输入的x值一定是（　　）

INPUT　x

IF　x>0　THEN

y＝x

ELSE

y＝－x

ENDIF

PRINT　y

END

A．3　　　　　　 B．－3C．3或－3 D．0

解析：

C　该程序语句是求函数y＝|x|的函数值，∵y＝3，∴x＝±3.

6、例6

（1）下列程序语句的算法功能是（　　）

INPUT　a，b，c

IF　a

a＝b

ENDIF

IF　a

a＝c

ENDIF

PRINT　a

END

A．输出a，b，c三个数中的最大数

B．输出a，b，c三个数中的最小数

C．将a，b，c按从小到大排列

D．将a，b，c按从大到小排列

解析A　由程序语句可知，当比较a，b的大小后，选择较大的数赋给a；

当比较a，c的大小后，选择较大的数赋给a；

最后打印a，所以此程序的作用是输出a，b，c中最大的数．

小结：

将程序中ab，a>c，则结果是输出a，b，c中的最小值．

（三）巩固练习

1．写出下列程序运行的结果

输出结果为________．　　　输出结果为________．

解析：

（1）执行第三、四句后，a＝4，b＝－2，执行第五句后，a＝4×（－2）4×＝128，故输出a的值为128；

（2）执行第三句后，c＝－1，执行第四句后，b＝0，故输出a＝1，b＝0，c＝－1；

（3）第一句输入a值2，第二句f＝a2－1＝3，第三句g＝2a＋3＝7，第四句f＝g2－1＝48，第五句g＝2f＋3＝99，最后输出f＝48，g＝99.

（4）第一句输入a＝10，b＝20，c＝30，第二句输出a＝10，b＝20，c＝30，第三句a＝20，第四句b＝30，第五句c＝20，第六句输出a＝20，b＝30，c＝20.

2当时，下面的程序段结果是（）

i=1

s=0

WHILEi<=4

s=s*x+1

i=i+1

WEND

PRINTs

END

ABCD

解：

C

四、其他常见题型

（一）进位制

1．以下各数中有可能是五进制数的为（　　）

A．55B．106C．732D．2134

解析：

D五进制数只需0,1,2,3,4五个数字．

2把“五进制”数转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数

解：

3、下列各数中最小的数为（　　）

A．101011

（2） B．1210（3）

C．110（8） D．68（12）

解析：

　A　101011

（2）＝1×25＋1×23＋1×2＋1＝43,1210（3）＝1×33＋2×32＋1×3＝48,110（8）＝1×82＋1×8＝72,68（12）＝6×12＋8＝80，故选A.

4．下列二进制数中最大的数是（　　）

A．111

（2）B．1001

（2）C．110

（2）D．101

（2）

　解析：

B　据k进制数的位置原则知，四位数一定大于三位数，故选B.也可以先把它化为十进制数，再比较．

小结：

相同进位制数的大小可以看位数，按“位值”原则比较大小，如132（4）>123（4）,101

（2）>11

（2），但不同进位制的数之间比较大小，不适用“位值”原则，一般都是先化为十进制数再比较大小．

5．二进制数算式1010

（2）＋10

（2）的值是（　　）

A．1011

（2） B．1100

（2）

C．1101

（2） D．1000

（2）

　解析：

B　1010

（2）＋10

（2）＝（1×23＋0×22＋1×21＋0×20）＋（1×21＋0×20）＝12＝1100

（2），故选B.

小结：

　可以按进位制原则，直接象通常的十进制加法一样计算．注意k进制是满k进1.

6．若10y1

（2）＝x02（3），求数字x，y的值及与此两数等值的十进制数．

分析：

　由二进制及三进制可知，y∈{0,1}，x∈{1,2}，将二进制数和三进制数都转化为十进制数，再由两数相等及x、y的取值范围可得出x、y的值．

解析：

　∵10y1

（2）＝x02（3），

∴1×23＋0×22＋y×2＋1＝x×32＋0×3＋2，

将上式整理得9x－2y＝7，

由进位制的性质知，

x∈{1,2}，y∈{0,1}，

当y＝0时，x＝（舍），

当y＝1时，x＝1.

∴x＝y＝1，已知数为102（3）＝1011

（2），

与它们相等的十进制数为

1×32＋0×3＋2＝11.

（二）．秦九韶算法

1、若用秦九韶算法求多项式f（x）＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为（　　）

A．4,2B．5,3C．5,2 D．6,2

解析：

选C.f（x）＝4x5－x2＋2＝（（（（4x）x）x－1）x）x＋2，所以需要做5次乘法运算和2次加减运算．

2．用秦九韶算法求多项式f（x）＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是（　　）

A．4×4＝16B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34

解析：

选D.因为f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f（x）＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是7×4＋6＝34.

3、用秦九韶算法求多项式当时的值

解：

4．用秦九韶算法求多项式f（x）＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6的值，当x＝－4时，v4的值为（　　）

A．－57 B．124C．－845 D．220

　解析：

D　依据秦九韶算法有v0＝a6＝3，v1＝v0x＋a5＝3×（－4）＋5＝－7，v2＝v1x＋a4＝－7×（－4）＋6＝34，v3＝v2x＋a3＝34×（－4）＋79＝－57，v4＝v3x＋a2＝－57×（－4）＋（－8）＝220.

（三）辗转相除法

1用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（）

ABCD

解：

D

是和的最大公约数，也就是和的最大公约数

2．用更相减损术，求105与30的最大公约数时，需要做减法的次数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

解析：

C　105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.

3．在用辗转相除法求两个正整数a，b（a>b）的最大公约数时，得到表达式a＝nb＋r，（n∈N），这里r的取值范围是________．

解：

　0≤r

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