高中数学选修2-2复数的概念练习题.doc
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一．选择题（共10小题）
1．（2015•遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i
2．（2015•安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（ ）
A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i
3．（2015•广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
4．（2015•泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2
5．（2015•潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．±1 D．
6．（2015•浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（ ）
A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i
7．（2015•新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．（2015•南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（ ）
A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i
9．（2015•宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（ ）
A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i
10．（2015•上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二．填空题（共5小题）
11．（2015•岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则ix+y= ．
12．（2015春•常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为 ．
13．（2015春•肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5}中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有 个．
14．（2015•泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z= ．
15．（2014•奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量对应的复数是 ．
三．解答题（共8小题）
16．求导：
f（x）=（x2+bx+b）．
17．（2015•赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i．
（1）求点C，D对应的复数；
（2）求平行四边形ABCD的面积．
18．（2015春•蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？
19．（2015春•海南校级期末）已知m∈R，复数z=+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，
（1）z为实数？
（2）z为虚数？
（3）z为纯虚数？
20．（2015春•澄城县校级期中）已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x、y的值．
21．已知（4x+2y﹣1）+（x+y+3）i=﹣3+4i，其中x，y∈R，若z=x+yi，求|z|及．
22．（2015春•临沭县期中）已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1+2i、﹣2+6i，且O是坐标原点，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z．
23．（2014春•砀山县校级期中）在复平面上，设点A、B、C，对应的复数分别为i，1，4+2i．过A、B、C作平行四边形ABCD．求点D的坐标及此平行四边形的对角线BD的长．
一．选择题（共10小题）
1．（2015•遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i
【考点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、周期性、虚部的定义可得出．
【解答】解：
复数z=i2015=（i4）503•i3=﹣i虚部是﹣1．
故选：
B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、周期性、虚部的定义，属于基础题．
2．（2015•安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（ ）
A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i
【考点】虚数单位i及其性质．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数单位的幂运算，化简求解即可．
【解答】解：
复数1﹣2i+3i2﹣4i3=复数1﹣2i﹣3+4i=﹣2+2i．
故选：
B．
【点评】本题考查复数的幂运算，复数的基本概念的应用，基本知识的考查．
3．（2015•广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【考点】复数的基本概念．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，求出x、y，然后求xy的值．
【解答】解：
因为实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，可得
所以x=y=1
所以xy=1
故选B．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数相等，计算能力，是基础题．
4．（2015•泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2
【考点】复数的基本概念．菁优网版权所有
【分析】纯虚数的表现形式是a+bi中a=0且b≠0，根据这个条件，列出关于a的方程组，解出结果，做完以后一定要把结果代入原复数检验是否正确．
【解答】解：
∵复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，
∴a2+a﹣2=0且a2﹣3a+2≠0，
∴a=﹣2，
故选A
【点评】复数中常出现概念问题，准确理解概念是解题的基础，和本题有关的概念问题同学们可以练习一遍，比如是实数、是虚数、是复数、还有本题的纯虚数，都要掌握．
5．（2015•潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．±1 D．
【考点】复数的基本概念．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用复数的模的求法直接求出b的值，即可得到复数的虚部．
【解答】解：
复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，所以，解得b=．
故选D．
【点评】本题是基础题，考查复数的基本运算，复数的基本概念，常考题型．
6．（2015•浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（ ）
A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i
【考点】复数的基本概念．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】由两个复数都是纯虚数，可设z=ai，（a∈R，a≠0），化简（z+2）2﹣8i，可求出z．
【解答】解：
设z=ai，（a∈R，a≠0），
则（z+2）2﹣8i=（ai+2）2﹣8i=4+4ai﹣a2﹣8i=（4﹣a2）+（4a﹣8）i，
∵复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，
∴4﹣a2=0，4a﹣8≠0．
解得：
a=﹣2．
∴z=﹣2i．
故选：
A．
【点评】本题考查了复数的分类以及复数的运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
7．（2015•新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】复数相等的充要条件．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．
【解答】解：
因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，
4a=0，并且a2﹣4=﹣4，
所以a=0；
故选：
B．
【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．
8．（2015•南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（ ）
A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i
【考点】复数相等的充要条件．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：
∵yi﹣x=﹣1+i，
∴，解得x=1，y=1．
则（1﹣i）x+y=（1﹣i）2=﹣2i．
故选：
B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了计算能力，属于基础题．
9．（2015•宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（ ）
A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】由复数代数形式的乘法运算化简i（2+i），求出A，B的坐标，利用中点坐标公式求得C的坐标，则答案可求．
【解答】解：
∵i（2+i）=﹣1+2i，
∴复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B的坐标分别为：
A（3，﹣4），B（﹣1，2）．
∴线段AB的中点C的坐标为（1，﹣1）．
则线段AB的中点C对应的复数为1﹣i．
故选：
D．
【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘法运算，是基础题．
10．（2015•上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】由复数为纯虚数求得a，进一步求出z的坐标得答案．
【解答】解：
由a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，得，解得a=1．
∴z=a+（a﹣2）i=1﹣i．
则复数z=a+（a﹣2）i在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．
故选：
D．
【点评】本题考查了复数的等式表示法及其几何意义，是基础题．
二．填空题（共5小题）
11．（2015•岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则ix+y= ﹣1 ．
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用复数相等、运算法则即可得出．
【解答】解：
∵（1+i）2=2i，
∴x+yi=2i，
∴x=0，y=2．
∴ix+y=i2=﹣1．
故答案为：
﹣1．
【点评】本题考查了复数相等、运算法则，考查了计算能力，属于基础题．
12．（2015春•常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为 ﹣1 ．
【考点】虚数单位i及其性质．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】由于i2015=（i4）503•i3=﹣i．再利用等比数列当前n项和公式即可得出．
【解答】解：
∵i2015=（i4）503•i3=﹣i．
∴i+i2+…+i2015====﹣1．
故答案为：
﹣1．
【点评】本题考查了复数的运算法则、周期性、等比数列当前n项和公式，考查了计算能力，属于中档题．
13．（2015春•肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5}中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有 25 个．
【考点】复数的基本概念．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】根据复数的概念进行求解即可．
【解答】解：
若a+bi为虚数，则b≠0，
则b=1，2，3，4，5有5种，则对应的a有5种，
则共有5×5=25种，
故答案为：
25
【点评】本题主要考查复数的有关概念，比较基础．
14．（2015•泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z= ﹣1+i ．
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．
【解答】解：
∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，
故答案为：
﹣1+i．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
15．（2014•奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量对应的复数是 5﹣5i ．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，得到向量=，代入所给的数据作出向量对应的结果．
【解答】解：
∵向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，
∴向量==2﹣3i+3﹣2i=5﹣5i
故答案为：
5﹣5i
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是根据两个向量对应的复数用向量的减法，得到结果．
三．解答题（共8小题）
16．求导：
f（x）=（x2+bx+b）．
【考点】简单复合函数的导数；导数的运算．菁优网版权所有
【专题】导数的综合应用．
【分析】分别计算（x2+bx+b）′=2x+b，=．再利用乘法导数的运算法则即可得出．
【解答】解：
∵（x2+bx+b）′=2x+b，==．
∴f′（x）=（2x+b）﹣（x2+bx+b）×．
【点评】本题考查了导数的运算法则，考查了计算能力，属于中档题．
17．（2015•赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i．
（1）求点C，D对应的复数；
（2）求平行四边形ABCD的面积．
【考点】复数的基本概念；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；综合题．
【分析】
（1）表示向量对应的复数，用求点C对应的复数；求出D对应的复数；
（2）由求出cosB，再求sinB，利用求平行四边形ABCD的面积．
【解答】解：
（1）∵向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i，
∴向量对应的复数为（1+2i）﹣（3﹣i）=2﹣3i，
又，
∴点C对应的复数为（2+i）+（2﹣3i）=4﹣2i．
又=（1+2i）+（3﹣i）=4+i，
=2+i﹣（1+2i）=1﹣i，
∴=1﹣i+（4+i），∴点D对应的复数为5．
（2）∵
∴，
∴sinB=，
∴S==．
∴平行四边形ABCD的面积为7．
【点评】本题考查复数的基本概念，平面向量数量积的运算，考查计算能力，是基础题．
18．（2015春•蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？
【考点】复数的基本概念．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由复数的解析式可得，
（1）当虚部等于零时，复数为实数；
（2）当虚部不等于零时，复数为虚数；（3）当实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数；（4）当实部大于零且虚部小于零时，复数在复平面内对应的点位于第四象限．
【解答】解：
∵复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i，
∴
（1）当m2﹣m﹣2=0，即m=﹣1，或m=2时，复数为实数．
（2）当m2﹣m﹣2≠0，即m≠﹣1，且m≠2时，复数为虚数．
（3）当m2﹣m﹣2≠0，且m2﹣1=0时，即m=1时，复数为纯虚数．
（4）当m2﹣1＞0，且m2﹣m﹣2＜0时，即1＜m＜2时，表示复数z的点在复平面的第四象限．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，一元二次不等式的解法，属于基础题．
19．（2015春•海南校级期末）已知m∈R，复数z=+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，
（1）z为实数？
（2）z为虚数？
（3）z为纯虚数？
【考点】复数的基本概念．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】
（1）利用“z为实数等价于z的虚部为0”计算即得结论；
（2）利用“z为虚数等价于z的实部为0”计算即得结论；
（3）利用“z为纯虚数等价于z的实部为0且虚部不为0”计算即得结论．
【解答】解：
（1）z为实数⇔m2+2m﹣3=0且m﹣1≠0，
解得：
m=﹣3；
（2）z为虚数⇔m（m+2）=0且m﹣1≠0，
解得：
m=0或m=﹣2；
（3）z为纯虚数⇔m（m+2）=0、m﹣1≠0且m2+2m﹣3≠0，
解得：
m=0或m=﹣2．
【点评】本题考查复数的基本概念，注意解题方法的积累，属于基础题．
20．（2015春•澄城县校级期中）已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x、y的值．
【考点】复数相等的充要条件．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】由复数相等的条件列出方程组，求出方程组的解即为实数x、y的值．
【解答】解：
由复数相等的条件，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
【点评】本题考查复数相等的条件，以及方程思想，属于基础题．
21．已知（4x+2y﹣1）+（x+y+3）i=﹣3+4i，其中x，y∈R，若z=x+yi，求|z|及．
【考点】复数相等的充要条件．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】由复数相等的条件列方程组，求得x，y的值后得z，则|z|及可求．
【解答】解：
∵（4x+2y﹣1）+（x+y+3）i=﹣3+4i，
∴，解得：
．
∴z=x+yi=﹣2+3i，
则|z|=，
．
【点评】本题考查复数相等的条件，考查了方程组的解法，训练了复数模的求法，是基础题．
22．（2015春•临沭县期中）已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1+2i、﹣2+6i，且O是坐标原点，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】设C（x，y）由题意可得|OC|=|AB|且OA∥BC，可得x和y的方程组，解方程组验证可得．
【解答】解：
由题意可得O（0，0），A（1，2），B（﹣2，6），设C（x，y）
由等腰梯形可得|OC|=|AB|且OA∥BC，
∴，
解得，或（舍去）
∴顶点C所对应的复数z=﹣5
【点评】本题考查复数的代数形式及几何意义，涉及梯形的命名规则，属基础题．
23．（2014春•砀山县校级期中）在复平面上，设点A、B、C，对应的复数分别为i，1，4+2i．过A、B、C作平行四边形ABCD．求点D的坐标及此平行四边形的对角线BD的长．
【考点】复数的基本概念；两点间的距离公式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由于四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质，我们可以得到AC两顶点的和等于CD两个顶点的和，构造方程解方程易得D点对应的复数，再由复数模的计算方法，易给出对角线BD的长．
【解答】解：
由于平行四边形对角线互相平分
故在复平面上，平行四边形ABCD的四个顶点满足：
AC两顶点的和等于CD两个顶点的和
即：
i+4+2i=1+Z
故Z=3+3i
则|BD|=|3+3i﹣1|=|2+3i|=
【点评】已知平行四边形三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标，我们一般的方法就是根据平行四边形的性质﹣﹣对角线互相平分，得到对角线两顶点的坐标和相等，然后构造方程进行求解．
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