空间线面关系经典讲义.docx

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空间线面关系经典讲义

基础回顾

立体几何基础知识

一、平面的基本性质

公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。

二、空间中线、面的位置关系

1.线线关系

公理4：

平行于同一条直线的两条直线相互平行。

定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

2.线面关系

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

3.面面关系

平行与垂直

一、直线、平面平行（垂直）的判定及其性质

1．平面与平面的位置关系有、两种情况．

2．直线和平面平行的判定

（1）定义：

直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；

（2）判定定理：

a

α，b

α，且a∥b⇒；

（3）其他判定方法：

α∥β；a⊂α⇒.

3．直线和平面平行的性质定理：

a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒.

4．两个平面平行的判定

（1）定义：

两个平面没有公共点，称这两个平面平行；

（2）判定定理：

a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒；

5．两个平面平行的性质定理

（1）α∥β，a⊂α⇒；

（2）α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒.

6．与垂直相关的平行的判定

（1）a⊥α，b⊥α⇒；

（2）a⊥α，a⊥β⇒.

7．直线与平面垂直

（1）判定直线和平面垂直的方法

①定义法．

②利用判定定理：

如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

③推论：

如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也这个平面．

（2）直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内直线．

②垂直于同一个平面的两条直线。

③垂直于同一直线的两平面。

8．斜线和平面所成的角

斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．

9．平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直的判定方法

①定义法

②利用判定定理：

如果一个平面过另一个平面的，则这两个平面互相垂直．

（2）平面与平面垂直的性质

如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面．

二、立体几何中的向量方法

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

（1）直线的方向向量：

l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称

为直线l的方向向量，与

平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

（2）平面的法向量可利用方程组求出：

设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

2.用向量证明空间中的平行关系

（1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2（或l1与l2重合）⇔v1∥v2.

（2）设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

（3）设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.

（4）设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.

3.用向量证明空间中的垂直关系

（1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.

（2）设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.

（3）设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.

4.点面距的求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝

.

方法突破

▲知识点1：

直线、平面平行的判定与性质

1.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．求证：

PB∥平面ACM.

注意：

利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．

2.如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：

AF∥平面PCE.

3.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

▲知识点2：

直线、平面垂直的判定与性质

4.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD.证明：

AD⊥平面PAC.

注意：

1）证明直线和平面垂直的常用方法有：

①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．

（2）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直。

5.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：

平面ABM⊥平面A1B1M.

注意：

面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：

判定定理法、平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面）、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法．

▲知识点3：

利用空间向量证明平行问题

6.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：

MN∥平面A1BD.

注意：

证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．

▲知识点4：

利用空间向量证明垂直问题

7.如图所示，在棱长为1的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.求证A1F⊥C1E；

注意：

证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．

▲知识点5：

利用向量求空间距离

8.在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2

，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，求点B到平面CMN的距离．

★综合题训练

9.如图，五面体ABCD中，ABCD是以点H为中心的正方形，EF//AB，EH丄平面ABCD，AB=2，EF=EH=1.

（1）证明：

平面ADF丄平面ABCD;

（2）求五面体EF—ABCD的体积；

（3）设N为EC的中点,若在平面ABCD内存在一点M,使MN丄平面BCE，求MN的长.

三、课后作业

1.如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4

.M是PC上的一点，证明：

平面MBD⊥平面PAD.

2.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．

求证：

PB∥平面EFG.

3.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：

（1）AE⊥CD；

（2）PD⊥平面ABE.

4.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2

.求点A到平面MBC的距离。

5.如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.

（1）求证：

E，B，F，D1四点共面；

（2）若点G在BC上，BG＝

，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，

求证：

EM⊥面BCC1B1.

6.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝

，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：

（1）AM∥平面BDE；

（2）AM⊥平面BDF.

7.在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点.

（1）求证：

EF⊥CD；

（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.