梁丰高级中学期末模拟试卷一.doc
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201301132013届梁丰高级中学期末模拟试卷一（试题卷）
一、填空题：
本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．
1．若，，
则集合B的元素个数为．
2．已知复数，则它的共轭复数等于．
3.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株
树木的底部周长（单位：
cm）.所得数据如图，那么在这100
株树木中，底部周长不小于110cm的有株.
4．将一颗骰子投掷两次分别得到点数，则直线
与圆相交的概率为．
5．某同学设计右面的程序框图用以计算和式
的值，则在判断框中应填写．
6．设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，
现给出下列四个命题：
①若,则；
②若，则；
③若则；
④若则.
其中,所有真命题的序号是.
7．设x,y满足约束条件的取值范围是．
8．设函数的图象为曲线，动点在曲线
上，过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合），设
线段的长为，则函数单调递增区间．
9．如图，边长为1的正方形的顶点,分别在轴、
轴正半轴上移动，则的最大值是________．
10．已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是.
11．已知，设平面上的个椭圆最多能把平面分成部分，则，，
，，…，，…，则．
12．已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为．
13.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD相交于O，记△BCO、△CDO、△ADO的面积分别为S1、S2、S3，则的取值范围是．
14．若直角坐标平面内的两个不同点、满足条件：
①、都在函数的图像上；②、关于原点对称.则称点对为函数的一对“友好点对”.（注：
点对与为同一“友好点对”），已知函数，此函数的“友好点对”有．
二、解答题：
本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题满分14分）
已知函数（其中的最小正周期为。
（1）求的值，并求函数的单调递减区间；
（2）在锐角中，分别是角的对边，若
的面积为，求的外接圆面积.
16.（本题满分14分）
如图，四棱锥中，底面为菱形，,平面底面，分别是、的中点。
（1）求证：
平面；
（2）为上一动点，当平面时，求的值.
17.（本题满分14分）
某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：
商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率＝．设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y．
（1）写出当x∈时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；
（2）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？
18.（本题满分16分）
已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
（3）记，，（A、B、是
（2）中的点），问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.（本题满分16分）
已知函数，为正常数．
（1）若，且，求函数的单调增区间；
（2）若，且对任意，，都有，
求的的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：
S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．
（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；
（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．
201301132013届梁丰高级中学期末模拟试卷一（答题卷）
序号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
姓名学号班级
15、
16、
17、
18、
19、
20、
201301132013届梁丰高级中学期末模拟试卷一（附加题试卷）
姓名学号班级
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．
请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（B）（选修：
矩阵与变换）
二阶矩阵有特征值其对应的一个特征向量并且矩阵对应的变换
将点变换成点，求矩阵.
（C）（选修：
坐标系与参数方程）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与轴的正半轴重合，曲线的
极坐标方程为直线的参数方程为为参
数,.试在曲线上一点，使它到直线的距离最大。
22．［必做题］
如图,在四棱锥中，⊥底面，底面为梯形，，
，，点在棱上，且．
（1）求证：
平面⊥平面；
（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
23．［必做题］
付款方式
分1期
分2期
分3期
分4期
分5期
频 数
10
20
a
20
b
某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示：
（1）若以频率作为概率，求事件A：
“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位彩用分3期付款”的概率P（A）；
（2）4S店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用表示经销一辆该品牌汽车的利润，求的分布列及数学期望E
答案：
1、32、3、304、5、6、
7、8、9、210、
11、12、－113、14、2对
15.（本题满分14分）解：
（Ⅰ）由已知得
或
由函数最小正周期为，得，………………4分
∴，当时,
是减函数，∴函数的单调递减区间是……7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知得,即,
∴或，∴或
又是锐角三角形，∴，……………10分
∵的面积为，∴,，
由余弦定理，得,
由正弦定理，得,的外接圆面积为………14分
16.（本题满分14分）解:
（1）连结,∵底面为菱形，,
∴是等边三角形,∵分别是的中点,∴,
∵平面底面,交线是
平面,
∴平面
（2）连结交于点,
交于点,连结,
∵底面为菱形,分别是、的中点
∴,且,
∴四边形是平行四边形,
∴
∵分别是的中点,
∴,同理,
∴,
又面，平面，平面平面
∴,
在中,.
17.解：
（1）∵500÷0.8＝625 ∴ …………………4分
当x＝1000时，y＝＝0.7 ………………………………………5分
即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7． …………………………6分
（Ⅱ）当x∈［2500,3500］时，0.8x∈［2000,2800］………………………………7分
①当0.8x∈即x∈时， 解得x<3000
∴2500≤x<3000;…10分
②当0.8x∈即x∈时，
解得x<3750∴3125≤x≤3500;……13分
综上，2500≤x<3000或3125≤x≤3500
即顾客购买标价在间的商品，可得到的实际折扣率低于．…14分
18．解
（1）设动点为,依据题意，有
，化简得．………………3分
因此，动点P所在曲线C的方程是：
．………………4分
（2）点F在以MN为直径的圆的外部．
理由：
由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：
，如图所示．5分
联立方程组，可化为，
则点的坐标满足．7分
又、，可得点、．
点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．
因，，则=．9分
于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．10分
（3）依据
（2）可算出，，
则
，
．15分
所以，，即存在实数使得结论成立．16分
进一步思考问题：
若上述问题中直线、点、曲线C：
，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断（填写“不正确”或“正确”）（限于时间，这里不需要举反例，或证明）．
对进一步思考问题的判断：
正确．
19.解：
⑴，…2分[来源:
Zxxk.Com]
∵，令，得，或，
∴函数的单调增区间为，。
6分
⑵∵，∴，
∴，
设，依题意，在上是减函数。
9分
当时，，，
令，得：
对恒成立，
设，则，
∵，∴，
∴在上是增函数，则当时，有最大值为，
∴。
12分
当时，，，
令，得：
，
设，则，
∴在上是增函数，∴，
∴，15分
综上所述，.16分
20．（本小题满分16分）
解：
（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得
（a＋a2）2＝12a2＋a2，（a＋a2＋a3）2＝27a3＋（a＋a2）2，
因an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．…………2分
因数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2（12－2a）＝a＋3＋2a，解得a＝3．…4分
经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．
（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即（Sn＋Sn－1）（Sn－Sn－1）＝3n2an，
即（Sn＋Sn－1）an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，（n≥2），①……6分
所以Sn＋1＋Sn＝3（n＋1）2，②
②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，（n≥2）．③…………8分
所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④
④－③，得an＋2－an＝6，（n≥2）
即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，………10分
因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．
所以an＝…………12分
要使数列{an}是递增数列，须有
a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，
即a＜12－2a，
3n＋2a－6＜3（n＋1）－2a＋6（n为大于或等于3的奇数），
3n－2a＋6＜3（n＋1）＋2a－6（n为偶数），
解得＜a＜．所以M＝（，），当aM时，数列{an}是递增数列．………16分
附加题答案：
（B）（选修：
矩阵与变换）
解：
设，则由，得，
即………………2分
由，得，
从而，…………4分
由，，解得
∴，…………8分……………10分
（C）（选修：
坐标系与参数方程）
解:
曲线的普通方程是…………2分
直线的普通方程是…………4分
设点的坐标是,则点到直线的距离是
……………………6分
当时,即,
取得最大值,此时,
综上,点的坐标是时,到直线的距离最大………………10分
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