南京市2014届数学二模.doc
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南京市2014届高三年级第二次模拟考试
数学2014.03
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：
柱体的体积公式：
V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
圆柱的侧面积公式：
S侧＝2πRh，其中R为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．函数f（x）＝lnx＋的定义域为▲．
2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i（i为虚数单位，aR）．若z1z2为实数，则a的值为▲．
150200250300350400450
0.005
a
0.001
0.004
0.003
O
成绩/分
（第3题图）
3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有▲．
k←1
开始
输出k
结束
S＞6
S←1
Y
N
S←S＋（k－1）2
k←k＋1
（第6题图）
4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为▲．
5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为▲．
6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为▲．
x
x
y
O
·
2
－2
（第7题图）
7．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如下图所示，则f（）的值为▲．
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为▲．
9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为▲．
10．已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为▲．
11．在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，3）作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为▲．
12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x2，当x＞1时，f（x＋1）＝f（x）＋f
（1），且．
若直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲．
13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为▲．
14．设函数f（x）＝ax＋sinx＋cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为▲．
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．（0，1]2．43．3004．5．26．47．1
8．9．10．60°11．1或12．2－213．（，）14．[－1，1]
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，
P
B
C
D
E
A
（第15题图）
BP＝BC，E为PC的中点．
（1）求证：
AP∥平面BDE；
（2）求证：
BE⊥平面PAC．
15．证：
（1）设AC∩BD＝O，连结OE．
因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．
因为E是PC中点，所以OE∥AP．…………………………………………4分
因为AP平面BDE，OE平面BDE，
所以AP∥平面BDE．…………………………………………6分
（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以BC⊥平面PAB．………………………………………8分
因为AP平面PAB，所以BC⊥PA．
因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，
所以PA⊥平面PBC．…………………………………………12分
因为BE平面PBC，所以PA⊥BE．
因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．
因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，
所以BE⊥平面PAC．…………………………………………14分
16．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交
于点A（x1，y1），α∈（，）．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B（x2，y2）．
A
B
D
O
C
x
y
（第16题图）
（1）若x1＝，求x2；
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及
△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．
16．解：
（1）因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．
所以sinα＝，cosα＝．………………………2分
所以x2＝cos（α＋）＝cosαcos－sinαsin＝－．…………………………………6分
（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α．…………………………………………8分
因为α（，），所以α＋（，）．
所以S2＝－sin（α＋）cos（α＋）＝－sin（2α＋）＝－cos2α．……………………………10分
因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－．…………………………………12分
所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－．因为α（，），所以tanα＝2．………14分
17．（本小题满分14分）
A
P
M
N
B
C
（第17题图）
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：
千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．
解法一：
设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．
因为MN＝2，所以AM＝sin（120°－θ）．………………………………………2分
在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ）．…………………………………………6分
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2（120°－θ）＋4－2×2×sin（120°－θ）cos（60°＋θ）………………………………8分
＝sin2（θ＋60°）－sin（θ＋60°）cos（θ＋60°）＋4
＝[1－cos（2θ＋120°）]－sin（2θ＋120°）＋4
＝－[sin（2θ＋120°）＋cos（2θ＋120°）]＋
＝－sin（2θ＋150°），θ∈（0，120°）．…………………………………………12分
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
A
P
M
N
B
C
第17题图
D
答：
设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分
解法二（构造直角三角形）：
设∠PMD＝θ，在△PMD中，
∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．……………2分
在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，
AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，（θ≥时，结论也正确）．……………6分
AP2＝AD2＋PD2＝（sinθ＋2cosθ）2＋（2sinθ）2
＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ…………………………8分
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin（2θ－），θ∈（0，）．…………………………12分
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°…………………………14分
解法三：
设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．
在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，
所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN，
即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．…………………………………………2分
因为＝，即＝，
所以sinα＝y，cosα＝＝＝．…………………………………………6分
cos∠AMP＝cos（α＋60°）＝cosα－sinα＝·－·y＝．……………………………8分
在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2AM·PM·cos∠AMP，
即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x（x－2y）＝4＋2xy．………………………………………12分
因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．
所以AP2≤12，即AP≤2．
当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2．
答：
设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为（0，b），求过P，Q，F2三点的圆的方程；
（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求·的最大值．
（1）解：
由题意得解得c＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．
所以椭圆的方程为＋y2＝1．…………………………………………2分
（2）因为P（0，1），F1（－1，0），所以PF1的方程为x－y＋1＝0．
由解得或所以点Q的坐标为（－，－）．……………………4分
因为kPF·kPF＝－1，所以△PQF2为直角三角形．……………………6分
因为QF2的中点为（－，－），QF2＝，
所以圆的方程为（x＋）2＋（y＋）2＝．……………………8分
（3）解法一：
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则＝（x1＋1，y1），＝（－1－x2，－y2）．
因为＝λ，所以即
所以解得x2＝．…………………………………………12分
所以·＝x1x2＋y1y2＝x2（－1－λ－λx2）－λy＝－x22－（1＋λ）x2－λ
＝－（）2－（1＋λ）·－λ＝－（λ＋）．…………………………………………14分
因为λ∈[，2]，所以λ＋≥2＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．
所以·≤，即·最大值为．…………………………………………16分
19．（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝ex，a，bR，且a＞0．
（1）若a＝2，b＝1，求函数f（x）的极值；
（2）设g（x）＝a（x－1）ex－f（x）．
①当a＝1时，对任意x（0，＋∞），都有g（x）≥1成立，求b的最大值；
②设g′（x）为g（x）的导函数．若存在x＞1，使g（x）＋g′（x）＝0成立，求的取值范围．
解：
（1）当a＝2，b＝1时，f（x）＝（2＋）ex，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
所以f′（x）＝ex．…………………………………………2分
令f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝，列表
x
（－∞，－1）
－1
（－1，0）
（0，）
（，＋∞）
f′（x）
－
－
f（x）
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
由表知f（x）的极大值是f（－1）＝e－1，f（x）的极小值是f（）＝4．……………………………………4分
（2）①因为g（x）＝（ax－a）ex－f（x）＝（ax－－2a）ex，
当a＝1时，g（x）＝（x－－2）ex．
因为g（x）≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，
所以b≤x2－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立．…………………………………………8分
记h（x）＝x2－2x－（x＞0），则h′（x）＝．
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，＋∞）上是增函数．
所以h（x）min＝h
（1）＝－1－e－1．
所以b的最大值为－1－e－1．…………………………………………10分
②：
因为g（x）＝（ax－－2a）ex，所以g′（x）＝（＋ax－－a）ex．
由g（x）＋g′（x）＝0，得（ax－－2a）ex＋（＋ax－－a）ex＝0，
整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．
存在x＞1，使g（x）＋g′（x）＝0成立，
等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．…………………………………………12分
因为a＞0，所以＝．
设u（x）＝（x＞1），则u′（x）＝．
因为x＞1，u′（x）＞0恒成立，所以u（x）在（1，＋∞）是增函数，所以u（x）＞u
（1）＝－1，
所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）．…………………………………………16分
20．（本小题满分16分）
已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，
a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．
（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；
（2）设a1＜a2，求证：
对任意n∈N*，且n≥2，都有＜．
解：
（1）因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a3＝3－2d，a4＝3－d．
因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝＝．………………3分
因为a2＝1，所以＝1，解得d＝2，或d＝．因为an＞0，所以d＝．
因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－（3－2d）＝．……………5分
（2）证法一：
因为a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列，
所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，①a＝a2na2n＋2．②；所以a＝a2n－2a2n，n≥2．③
所以＋＝2a2n．
因为an＞0，所以＋＝2．…………7分
即数列{}是等差数列．
所以＝＋（n－1）（－）．
由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比数列，
可得a4＝．………………8分
所以＝＋（n－1）（－）＝．
所以a2n＝．……………………10分
所以a2n＋2＝．
从而a2n＋1＝＝．
所以a2n－1＝．………………12分
①当n＝2m，mN*时，
－＝－＝－
＝－＜0．……………14分
②当n＝2m－1，mN*，m≥2时，
－＝－＝－
＝－＜0．
综上，对一切n∈N*，n≥2，有＜．………………16分
证法二：
①若n为奇数且n≥3时，则an，an＋1，an＋2成等差数列．
因为－＝＝＝－≤0，
所以≤．………………9分
②若n为偶数且n≥2时，则an，an＋1，an＋2成等比数列，所以＝．………11分
由①②可知，对任意n≥2，n∈N*，≤≤…≤．………13分
又因为－＝－＝＝－，
因为a1＜a2，所以－＜0，即＜．………15分
综上，＜．…………16分．
南京市2014届高三年级第二次模拟考试
数学附加题2014.03
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：
几何证明选讲
如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与
A
E
B
C
F
D
第21题A图
DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：
四边形ACBE为平行四边形；
（2）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长.
A．选修4—1：
几何证明选讲
解：
（1）因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB．
因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB．
所以∠ABC＝∠BAE．
所以AE∥BC．因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．…………………………………4分
（2）因为AE与圆相切于点A，所以AE2＝EB·（EB＋BD），即62＝EB·（EB＋5），解得BE＝4．
根据
（1）有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6．
设CF＝x，由BD∥AC，得＝，即＝，解得x＝，即CF＝．………………………10分
B．选修4—2：
矩阵与变换
已知矩阵A＝的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝．
（1）求矩阵A；
（2）若A＝，求x，y的值．
解：
（1）由题意，得＝2，即
解得a＝2，b＝4．
所以A＝．………………………………………5分
（2）解法一：
A＝，即＝，
所以………………………………………8分
解得………………………………………10分
解法二：
因为A＝，所以A－1＝．………………………………………7分
因为A＝，所以＝A－1＝＝．
所以………………………………………10分
C．选修4—4：
坐标系与参数方程
在极坐标系中，求曲线r＝2cosθ关于直线θ＝（rR）对称的曲线的极坐标方程．
解法一：
以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，
则曲线r＝2cosθ的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1，且圆心C为（1，0）．………………………4分
直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，
因为圆心C（1，0）关于y＝x的对称点为（0，1），
所以圆心C关于y＝x的对称曲线为x2＋（y－1）2＝1．………………………………………8分
所以曲线r＝2cosθ关于直线θ＝（rR）对称的曲线的极坐标方程为r＝2sinθ．…………………10分
解法二：
设曲线r＝2cosθ上任意一点为（r′，θ′），其关于直线θ＝对称点为（r，θ），
则………………………………………6分
将（r′，θ′）代入r＝2cosθ，得r＝2cos（－θ），即r＝2sinθ．
所以曲线r＝2cosθ关于直线θ＝（r∈R）对称的曲线的极坐标方程为r＝2sinθ．…………………10分
D．选修4—5：
不等式选讲
已知x，yR，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：
|x＋5y|≤1．
证：
因为|x＋5y|＝|3（x＋y）－2（x－y）|．………………………………………5分
由绝对值不等式性质，得
|x＋5y|＝|3（x＋y）－2（x－y）|≤|3（x＋y）|＋|2（x－y）|
＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1．
即|x＋5y|≤1．………………………………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．
（1）求恰有2人申请A大学的概率；
（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E（X）．
22．（本小题满分10分）
解
（1）记“恰有2人申请A大学”为事件A，
P（A）＝＝＝．
答：
恰有2人申请A大学的概率为．………………………………………4分
（2）X的所有可能值为1，2，3．
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝＝，
P（X＝3）＝＝＝．
X的概率分布列为：
X
1
2
3
P
所以X的数学期望E（X）＝1×＋2×＋3×＝．………………………………………10分
23．（本小题满分10分）
设f（n）是定义在N*上的增函数，f（4）＝5，且满足：
①任意n∈N*，f（n）Z；②任意m，n∈N*，有f（
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