平面向量基本定理及坐标表示.docx

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平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1），|a|＝.

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

选择题：

设e1，e2是平面内一组基底，那么（　　）

A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0

B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2（λ1，λ2为实数）

C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内

D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对

下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）

A．e1＝（0,0），e2＝（1，－2）B．e1＝（－1,2），e2＝（5,7）

C．e1＝（3,5），e2＝（6,10）D．e1＝（2，－3），e2＝

解析　两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.

已知平面向量a＝（1,1），b＝（1，－1），则向量a－b等于（　　）

A．（－2，－1）B．（－2,1）C．（－1,0）D．（－1,2）

解析　a＝（，），b＝（，－），故a－b＝（－1,2）．

已知a＝（1,1），b＝（1，－1），c＝（－1,2），则c等于（　　）

A．－a＋bB.a－bC．－a－bD．－a＋b

解析　设c＝λa＋μb，∴（－1,2）＝λ（1,1）＋μ（1，－1），∴∴∴c＝a－b.

已知向量a＝（1,2），b＝（1,0），c＝（3,4）．若λ为实数，（a＋λb）∥c，则λ等于（　　）

A.B.C．1D．2

解析　∵a＋λb＝（1＋λ，2），c＝（3,4），且（a＋λb）∥c，∴＝，∴λ＝

已知a＝（5，－2），b＝（－4，－3），若a－2b＋3c＝0，则c等于（　　）

A.B.C.D.

解析　由已知3c＝－a＋2b＝（－5,2）＋（－8，－6）＝（－13，－4），∴c＝.

已知向量＝（k,12），＝（4,5），＝（－k,10），且A，B，C三点共线，则k的值是（　　）

A．－B.C.D.

解析　＝－＝（4－k，－7），＝－＝（－2k，－2），∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×（4－k）＝－7×（－2k），解得k＝－

已知点A（1,3），B（4，－1），则与向量A同方向的单位向量为（　　）

A.B.C.D.

解析　A＝O－O＝（4，－1）－（1,3）＝（3，－4），∴与A同方向的单位向量为＝.

已知点A（－1,5）和向量a＝（2,3），若＝3a，则点B的坐标为（　　）

A．（7,4）B．（7,14）C．（5,4）D．（5,14）

解析　设点B的坐标为（x，y），则＝（x＋1，y－5），由＝3a，得解得

已知向量a＝（－1,2），b＝（3，m），m∈R，则“m＝－6”是“a∥（a＋b）”的（　　）

A．充分必要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

解析　由题意得a＋b＝（2,2＋m），由a∥（a＋b），得－1×（2＋m）＝2×2，∴m＝－6，则“m＝－6”是“a∥（a＋b）”的充要条件，故选A

已知在□ABCD中，＝（2,8），＝（－3,4），则＝（　　）

A．（－1，－12）B．（－1,12）C．（1，－12）D．（1,12）

解析　∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＋＝（－1,12）

在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s等于（　　）

A.B.C．－3D．0

解析　∵＝2，∴＝＝（－）＝－，则r＋s＝＋＝0

已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝（　　）

A.＋B.＋C.＋D.＋

解析　如图，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋

在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝（4,3），＝（1,5），则等于（　　）

A．（－2,7）B．（－6,21）C．（2，－7）D．（6，－21）

解析　＝3＝3（2－）＝6－3＝（6,30）－（12,9）＝（－6,21）．

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于（　　）

A.B.C.D.

解析　∵＝＋＝＋＝＋（＋）＝2＋＋＝2－－，

∴＝－，∴λ＋μ＝.

填空题：

已知平面向量a＝（1,2），b＝（－2，m），且a∥b，则2a＋3b＝________.

解析　由a＝（1,2），b＝（－2，m），且a∥b，得1×m＝2×（－2），即m＝－4.

从而b＝（－2，－4），那么2a＋3b＝2（1,2）＋3（－2，－4）＝（－4，－8）．

已知向量a＝（x,1），b＝（2，y），若a＋b＝（1，－1），则x＋y＝________.

解析　∵（x,1）＋（2，y）＝（1，－1），∴解得∴x＋y＝－3.

已知向量a＝（1,2），b＝（0,1），设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为（　　）

A．－1B．－C.D．1

解析　∵u＝（1,2）＋k（0,1）＝（1,2＋k），v＝（2,4）－（0,1）＝（2,3），又u∥v，∴1×3＝2（2＋k），得k＝－

已知向量a＝（1,2），b＝（x,1），u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．

解析　∵a＝（1,2），b＝（x,1），u＝a＋2b，v＝2a－b，∴u＝（1,2）＋2（x,1）＝（2x＋1,4），v＝2（1,2）－（x,1）＝（2－x,3）．又∵u∥v，∴3（2x＋1）－4（2－x）＝0，即10x＝5，解得x＝.

若三点A（1，－5），B（a，－2），C（－2，－1）共线，则实数a的值为________

解析　＝（a－1,3），＝（－3,4），根据题意∥，∴4（a－1）＝3×（－3），即4a＝－5，∴a＝－

在□ABCD中，AC为一条对角线，＝（2,4），＝（1,3），则向量的坐标为__________．

解析　∵＋＝，∴＝－＝（－1，－1），∴＝－＝－＝（－3，－5）．

已知□ABCD的顶点A（－1，－2），B（3，－1），C（5,6），则顶点D的坐标为________

解析　设D（x，y），则由＝，得（4,1）＝（5－x,6－y），即解得

已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A（1,2），B（2,1），C（4,2），则点D的坐标为_______

解析　∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，∴＝2.

设点D的坐标为（x，y），则＝（4,2）－（x，y）＝（4－x,2－y），＝（2,1）－（1,2）＝（1，－1），

∴（4－x,2－y）＝2（1，－1），即（4－x,2－y）＝（2，－2），

∴解得故点D的坐标为（2,4）．

如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．

解析：

设＝k，k∈R.

∵＝＋＝＋k＝＋k（－）＝＋k（－）＝（1－k）＋，

且＝m＋，∴1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.

在□ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________（用e1，e2表示）

解析　如图，＝－＝＋2＝＋

＝－＋（－）＝－e2＋（e2－e1）＝－e1＋e2

如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝____________

解析　＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b

若三点A（2,2），B（a,0），C（0，b）（ab≠0）共线，则＋的值为________．

解析　＝（a－2，－2），＝（－2，b－2），则（a－2）（b－2）－4＝0，即ab－2a－2b＝0，∴＋＝.

设＝（－2,4），＝（－a,2），＝（b,0），a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________

解析　由题意得＝（－a＋2，－2），＝（b＋2，－4），

又∥，∴（－a＋2，－2）＝λ（b＋2，－4），即整理得2a＋b＝2，

∴＋＝（2a＋b）（＋）＝（3＋＋）≥（3＋2）＝（当且仅当b＝a时，等号成立）．

已知A（7,1），B（1,4），直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a＝________.

解析　设C（x，y），则＝（x－7，y－1），＝（1－x,4－y），

∵＝2，∴解得∴C（3,3）．

又∵C在直线y＝ax上，∴3＝a·3，∴a＝2.

已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（k＋1，k－2），若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________

解析　若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．∵＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1,2），＝－＝（k＋1，k－2）－（1，－3）＝（k，k＋1），

∴1×（k＋1）－2k≠0，解得k≠1.

设0＜θ＜，向量a＝（sin2θ，cosθ），b＝（cosθ，1），若a∥b，则tanθ＝________.

解析　∵a∥b，∴sin2θ×1－cos2θ＝0，∴2sinθcosθ－cos2θ＝0，

∵0＜θ＜，∴cosθ＞0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝

解答题：

已知A（1,1），B（3，－1），C（a，b）．

（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；

（2）若＝2，求点C的坐标．

解析　

（1）由已知得＝（2，－2），＝（a－1，b－1），

∵A，B，C三点共线，∴∥，∴2（b－1）＋2（a－1）＝0，即a＋b＝2.

（2）∵＝2，∴（a－1，b－1）＝2（2，－2）．

∴解得∴点C的坐标为（5，－3）．

已知点O为坐标原点，A（0,2），B（4,6），＝t1＋t2.

（1）求点M在第二或第三象限的充要条件；

（2）求证：

当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．

（1）解　＝t1＋t2＝t1（0,2）＋t2（4,4）＝（4t2,2t1＋4t2）．

当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.

（2）证明　当t1＝1时，由

（1）知＝（4t2,4t2＋2）．

∵＝－＝（4,4），＝－＝（4t2,4t2）＝t2（4,4）＝t2，

∴与共线，又有公共点A，∴A，B，M三点共线．

能力提升题组

已知向量a＝（2,3），b＝（－1,2），若（ma＋nb）∥（a－2b），则等于（　　）

A．－2B．2C．－D.

解析　由题意得ma＋nb＝（2m－n,3m＋2n），a－2b＝（4，－1），

∵（ma＋nb）∥（a－2b），∴－（2m－n）－4（3m＋2n）＝0，∴＝－

已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n（m，n∈R），则的值为（　　）

A．2B.C．3D．4

解析　∵·＝0，∴⊥，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，

＝（1,0），＝（0，），＝m＋n＝（m，n）．∵tan30°＝＝，∴m＝3n，即＝3

如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且B＝2P，则（　　）

A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝

解析　由题意知O＝O＋B，又B＝2P，∴O＝O＋B＝O＋（O－O）＝O＋O，∴x＝，y＝.

已知点A（－1,2），B（2,8），＝，＝－，则的坐标为________

解析　设点C，D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．

由题意得＝（x1＋1，y1－2），＝（3,6），＝（－1－x2,2－y2），＝（－3，－6）．

∵＝，＝－，∴有和

解得和∴点C，D的坐标分别为（0,4），（－2,0），从而＝（－2，－4）．

已知向量a＝（1,1），b＝（1，－1），c＝（cosα，sinα）（α∈R），实数m，n满足ma＋nb＝c，则（m－3）2＋n2的最大值为________

解析　由ma＋nb＝c，可得

故（m＋n）2＋（m－n）2＝2，即m2＋n2＝1，故点M（m，n）在单位圆上，则点P（3,0）到点M的距离的最大值为|OP|＋1＝3＋1＝4，故（m－3）2＋n2的最大值为42＝16.

已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝________.

解析∵＋＋＝0，∴M为△ABC的重心．

如图所示，连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点．

∴＝.

又＝（＋），∴＝（＋），

即＋＝3，∴m＝3.

如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________

解析　由题意得，＝k（k＜0），

又|k|＝＜1，∴－1＜k＜0.

又∵B，A，D三点共线，∴＝λ＋（1－λ），

∴m＋n＝kλ＋k（1－λ），

∴m＝kλ，n＝k（1－λ），

∴m＋n＝k，从而m＋n∈（－1,0）．

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