马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测理数试题.docx

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安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测试题

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数的共轭复数为（）

A．B．C.D．

2．等比数列的前项和为，则的值为（）

A．B．C.D．

3．若实数满足约束条件则的最小值为（）

A．2B．1C.D．不存在

4.已知函数，则函数的大致图象是（）

A．B．C.D．

5.从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（）

A．B．C.D．

6．若，则的值不可能为（）

A．B．C.D．

7.如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（）

A．B．2

C.D．

8.如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体

过三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）

A．B．C.D．

9.二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的顶的个数为（）

A．3B．5C.6D．7

10．设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（）

A．B．C.D．

11.已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）

A．B．C.D．

12.已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）

A．2448B．2525C.2533D．2652

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量满足，，则的夹角为．

14.点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为．

15.已知四面体中，，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为．

16.已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.如图，中为钝角，过点作交于，已知.

（1）若，求的大小；

（2）若，求的长.

18.某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（为大于0的常数）.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:

（1）根据所给数据，求关于的回归方程；

（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.

附：

对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

19.如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，和都是边长为的正三角形.

（1）求证：

面；

（2）求二面角的大小.

20.直线与抛物线交于两点，且，其中为原点.

（1）求此抛物线的方程；

（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.

21.已知函数.

（1）若对恒成立，求的取值范围；

（2）证明：

不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：

（为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）设圆与直线交于点，求的大小.

23.选修4-5：

不等式选讲

已知，.

（1）若且的最小值为1，求的值；

（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:

BBBAD6-10:

BCADC11、12：

CB

二、填空题

13.14.15.16.

三、解答题

17.解：

（1）在中，由正弦定理得，，

解得，又为钝角，则，故.

（另解：

在中，由余弦定理解得，从而是等腰三角形，得）

（2）设，则.

∵，∴，∴.

在中由余弦定理得，，

∴，解得，故.

18.解：

（1）对，两边取自然对数得，

令，得，由，，

故所求回归方程为.

（2）由，即优等品有3件，

的可能取值是0，1，2,3，且

.

其分布列为

∴.

19.解：

（1）证明：

分别取和的中点，连接.

由平面几何知识易知共线，且.

由得，从而，

∴，又，∴.

∴面，∴.

在中，，∴，

在等腰梯形中，，

∴，∴，

又，面，∴面.

（2）由

（1）知面且，故建立空间直角坐标系如图所示.

则，

.

由

（1）知面的法向量为.

设面的法向量为，

则由，得，

令，得，

∴.

所以，二面角大小为.

20.解：

（1）设，将代入，得.

其中，.

所以，.由已知，.

所以抛物线的方程.

（2）当时，，易得抛物线在处的切线方程分别为和.从而得.

设，则抛物线在处的切线方程为，设直线与轴交点为，则.由和联立解得交点，由和联立解得交点，

所以，

，

所以与的面积比为2.

21.解：

（1）法一：

记，

则，，

①当时，

∵，∴，∴在上单减，

又，∴，即在上单减，

此时，，即；

②当时，

考虑时，，∴在上单增，

又，∴，即在上单増，

综上所述，.

法二：

当时，等价于，

，记，则，

∴在上单减，∴，

∴，即在上单减，，故.

（2）由

（1）知：

取，当时，恒成立，

即恒成立，即恒成立，

即对于恒成立，

由此，，，

于是

，

故.

22.解：

（1）由，得圆的直角坐标方程为：

.

（2）（法一）由直线的参数方程可得直线的普通方程为：

，

代入圆方程消去可得

∴

∴

（也可以用几何方法求解）

（法二）将直线的参数方程代入圆的方程可得：

整理得：

∴

根据参数方程的几何意义，由题可得：

.

23.解：

（1）（当时，等号成立）

∵的最小值为1，∴，∴或，又，∴.

（2）由得，，∵，

∴，即

且且.