三角函数解答题精选16道-带答案!!!.doc

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三角函数解答题专练

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、解答题

1．已知函数

（I）求函数f（x）的最小正周期；

（II）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值.

2．已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在区间上的最值及相应的值．

3．已知函数.

（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；

（2）讨论函数在上的单调性.

4．已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）若，，求的值.

5．已知函数

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在区间上的最大最小值及相应的值.

6．已知函数.

（Ⅰ）写的相邻两条对称轴的距离；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的最大值.

7．已知函数的最小正周期为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在区间上的最值．

8．已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为和

（1）求和的值

（2）已知，且，求的值

9．（本小题满分13分）已知函数，

（Ⅰ）求最小正周期；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.

10．已知函数，．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．

11．（2013•天津）已知函数．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

12．已知函数.

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）若在区间上的最大值与最小值的和为2，求的值.

13．设函数.

（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；

（Ⅱ）求在区间上的最值.

14．已知函数.

（1）求函数的最小正周期的最大值；

（2）求函数在上的单调区间.

15．已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最大值和最小值．

16．已知函数

（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；

（2）求函数在区间上的值域.

试卷第3页，总3页

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参考答案

1．

（1）;

（2）.

【解析】分析：

（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；（II）利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的单调区间，由的范围结合函数的单调性，求得函数的最大值和最小值.

详解：

（Ⅰ）∵

∴

（Ⅱ）∵∴

∵当，即时，函数单调递增，

当，即时，函数单调递减

且

∴.

点睛：

本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题.

函数的单调区间的求法：

（1）代换法：

①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；

（2）图象法：

画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.

2．

（1）；

（2）当时，；当时，

【解析】分析：

1）化简，

所以的最小正周期是；

（2）结合求出，进而利用正弦函数的单调性可求出函数在区间上的最值及相应的值.

详解：

（1），

所以的最小正周期是．

（2）因为，所以，

所以，

当时，；当时，．

点睛：

，对三角函数恒等变形及三角函数性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.

3．

（1）最小正周期，对称轴方程为，；

（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.

【解析】分析：

（1）利用二倍角公式、两角和的余弦公式化简函数表达式，再利用周期公式和整体思想进行求解；

（2）利用整体思想和三角函数的单调性进行求解.

详解：

（1），

因为，所以最小正周期，

令，所以对称轴方程为，.

（2）令，得，，

设，，

易知，

所以，当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减.

点睛：

本题考查二倍角公式、两角和公式、辅助角公式、三角函数的图象和性质等知识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力.

4．

（1），；

（2）

【解析】分析：

第一问需要应用诱导公式、倍角公式以及辅助角公式化简函数解析式，之后结合正弦函数的单调区间求解即可，第二问利用题中的条件，求得，根据题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的范围，利用平方关系，结合角的范围，求得，之后将角进行配凑，利用和角公式求得结果.

详解：

（1）

令，，

所以，的单调递增区间为，.

（2），

∵∴∴

∴

.

点睛：

该题属于三角函数的问题，在解题的过程中，需要利用诱导公式、倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用正弦型函数的解决思路解题，在第二问求值的时候需要结合题中的条件，对角进行配凑，利用和角公式求解.

5．

（1）；

（2）当时，；当时，。

【解析】分析：

（1直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数的最小正周期；

（II）结合已知条件求出，进而可求出函数在区间上的最大最小值及相应的值．

详解：

（1）

所以的最小正周期是

（2）因为，

所以，

所以

当时，

当时，

点睛：

本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．

6．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】分析：

（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，由相邻两条对称轴的距离为半个周期可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，，利用解不等式即可得结果.

详解：

（Ⅰ）

所以函数的最小正周期.

所以曲线的相邻两条对称轴的距离为，即.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

当时，.

因为在上单调递增，且在上单调递增，

所以，

即

解得.

故的最大值为.

点睛：

对三角函数的图象与性质以及三角函数恒等变形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，既要掌握三角函数的基本性质，又要熟练掌握并灵活应用两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.

7．（Ⅰ）；（Ⅱ）1.

【解析】试题分析;（Ⅰ）1利用二倍角公式化简函数表达式，通过函数的周期公式，求的值

（Ⅱ）利用平移规律确定出解析式，根据的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出函数在区间上的最值．

试题解析：

（Ⅰ）,所以

（Ⅱ）

当时，

所以；

视频

8．

（1）2；

（2）

【解析】分析：

（1）函数的图象的最高点的坐标为，可得，依题意得的周期为从而可得；

（2）根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，结合二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可求出.

详解：

（1）∵函数的图象的最高点的坐标为，，

依题意，得的周期为

（2）由

（2）得

∵，且，

点睛：

三角函数求值有三类，

（1）“给角求值”：

一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

（2）“给值求值”：

给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：

实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

9．（Ⅰ）;（Ⅱ）,.

【解析】（Ⅰ）由已知，有

.

所以的最小正周期.

（Ⅱ）因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，

，所以在区间上的最大值为，最小值为.

考点：

三角恒等变形、三角函数的图象与性质.

10．（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．

【解析】试题分析：

（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；

（2）由

（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．

由已知，有

的最小正周期．

（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．

考点：

1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．

视频

11．

（1）π

（2）最大值为f（）=2；最小值为f（0）=﹣2．

【解析】

（1）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）

∴f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1

=2sin2x﹣2cos2x=2sin（2x﹣）

因此，f（x）的最小正周期T==π；

（2）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤

∴当x=0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x=时，sin（2x﹣）取得最大值1

由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=﹣2．

视频

12．

（1）

（2）

【解析】试题分析：

（Ⅰ）根据二倍角公式及辅助角公式可将函数化为即可求得周期；（Ⅱ）根据三角函数的有界性不，求出函数的最值，列方程求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）

（Ⅱ）因为，所以

当，即时，单调递增

当，即时，单调递减

所以

又因为，

所以

故，因此

【方法点晴】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的周期性及三角函数的有界性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．

13．（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）利用同角间的三角函数关系式，二倍角公式，诱导公式，两角差的正弦公式把函数化为一个角的一个三角函数形式，即形式，然后由周期公式可得周期，由函数式有意义可得定义域；

（Ⅱ）结合正弦函数的性质可确定在上的单调性，然后可确定最值．

试题解析：

（Ⅰ）

由得的定义域为

故的最小正周期为

（Ⅱ）

，

而

.

14．

（1），；

（2）增区间为，减区间为.

【解析】

试题分析：

（1）依据题设条件和三角变换公式先化简,再用周期公式求解；

（2）借助题设条件运用正弦函数的单调性进行求解.

试题解析:

（1）

的最小正周期,的最大值为.

（2）由

（1）可知,在区间上单调递增,在区间上单调递减.

而,所以函数在上单调递增,在区间上单调递减.

考点：

正弦函数的单调性和周期性等有关知识的运用．

15．（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值为，最小值为

【解析】试题分析：

（1）首先将函数进行化简，包括两角和的正弦公式展开，以及二倍角公式，以及，然后合并同类项，最后利用辅助角公式化简为，再求函数的周期；

（2）根据,求的范围，再求函数的值域，以及函数的最大值和最小值.

试题解析：

（1）由题意可得

∴的最小正周期为；

（2）∵，∴，

∴，

∴在区间上的最大值为，最小值为-2．

考点：

1.三角函数的恒等变形；2.三角函数的性质.

16．

（1）最小正周期，对称轴为：

；

（2）.

【解析】

试题分析：

（1）首先对的表达式进行化简，利用两角和与差的正余弦公式，结合辅助角公式，即可将其化为形如的形式，从而可知周期与对称轴方程；

（2）根据题意可知当，得，结合正弦函数在上的单调性可知，当，时，，当，时，，从而可知值域为.

试题解析：

（1）∵

，

∴周期，函数图像的对称轴为：

；

（2）由，得，再令，得，

∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴当时，取最大值，

又∵，即当时所取最小值，

∴函数的值域为.

考点：

1.三角恒等变形；2.三角函数的图象和性质.

答案第13页，总14页