-上海市徐汇区高二上期末数学试卷解析版.doc

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高二（上）期末数学试卷

一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.

1．直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为　　　　　　（结果用反三角函数值表示）

2．若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是　　　　　　．

3．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=　　　　　　．

4．行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=　　　　　　．

5．以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是　　　　　　．

6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为　　　　　　．

7．在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是　　　　　　．

8．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=　　　　　　．

9．在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=　　　　　　．

10．已知F1、F2是双曲线C：

﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=　　　　　　．

11．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为　　　　　　．

12．在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：

x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为　　　　　　．

二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

13．“”是“方程组有唯一解”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

14．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a6+a10为一个确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是（　　）

A．

S6

B．

S11

C．

S12

D．

S13

15．无穷等比数列{an}的各项和为S，若数列{bn}满足bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n，则数列{bn}的各项和为（　　）

A．

S

B．

3S

C．

S2

D．

S3

16．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（　　）

A．在x轴上 B．在y轴上

C．当a＞b时，在x轴上 D．当a＞b时，在y轴上

三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知：

、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）

（1）若||=2，且∥，求的坐标；

（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．

18．已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：

x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．

19．如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E：

+=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．

（1）求椭圆E的方程；

（2）求△ABC的面积．

20．如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．

（1）求双曲线的方程；

（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．

21．对于曲线C：

f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．

（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？

若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；

（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．

2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.

1．直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为　arctan　（结果用反三角函数值表示）

【考点】直线的倾斜角．

【分析】根据所给的直线3x﹣4y﹣5=0，得到直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，得到tanα=，α∈[0，π]，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果．

【解答】解：

∵直线3x﹣4y﹣5=0，

∴直线的斜率时，

直线的斜率是倾斜角的正切，

∴tanα=，α∈[0，π]，

∴α=arctan，

故答案为：

arctan．

2．若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是　（，）　．

【考点】平行向量与共线向量．

【分析】根据坐标运算求出向量，再求与同向的单位向量即可．

【解答】解：

∵=（﹣5，4），=（7，9），

∴=（12，5），||==13；

∴与同向的单位向量的坐标为=（，）．

故答案为：

（，）．

3．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=　2　．

【考点】几种特殊的矩阵变换．

【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．

【解答】解：

由题意知是方程组的解，

即，

则a+b=1+1=2，

故答案为：

2．

4．行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=　3　．

【考点】三阶矩阵．

【分析】由题意可知求得A12=﹣=k+4，代入即可求得k的值．

【解答】解：

由题意可知：

设A=，

元素﹣3的代数余子式A12=﹣=k+4，

∴k+4=7，

∴k=3，

故答案为：

3．

5．以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是　（x+1）2+（y﹣5）2=17　．

【考点】圆的标准方程．

【分析】由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径，由此能求出圆的方程．

【解答】解：

∵点P（3，4）和点Q（﹣5，6），

∴以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（﹣1，5），

圆的半径r===．

∴圆的方程为：

（x+1）2+（y﹣5）2=17．

故答案为：

（x+1）2+（y﹣5）2=17．

6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为　x=﹣2　．

【考点】抛物线的标准方程；圆的一般方程．

【分析】由已知得抛物线的焦点F（2，0），由此能求出该抛物线的准线方程．

【解答】解：

∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，

∴抛物线的焦点F（2，0），

∴该抛物线的准线方程为x=﹣2．

故答案为：

x=﹣2．

7．在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是　　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】利用余弦定理求出A，则与的夹角为π﹣A．

【解答】解：

cosA===﹣．

∴在方向上的投影是||•cos（π﹣A）=3×=．

故答案为．

8．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=　　．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据题设条件知求出渐近线的斜率，建立方程求出k．

【解答】解：

∵双曲线kx2﹣y2=1的渐近线的一条渐近线的方向向量=（2，﹣1），

∴渐近线的斜率为=，

∴k=．

故答案为：

．

9．在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=　　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】利用向量的加法法则化，展开后利用数量积运算得答案．

【解答】解：

如图，

∵AB=3，BD=1，∠B=60°，

∴==

=．

故答案为：

．

10．已知F1、F2是双曲线C：

﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=　4　．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】Rt△PF1F2中，由勾股定理及双曲线的定义，△PF1F2面积为16，即可求出b．

【解答】解：

设|PF1|=m，|PF2|=n，

⊥，得∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4c2，

△PF1F2的面积为16，∴mn=32

∴4a2=（m﹣n）2=4c2﹣64，

∴b2=c2﹣a2=16，

∴b=4．

故答案为：

4．

11．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为　2　．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x，y），根据P（x，y）在椭圆上可得到x、y的关系式，表示出|OP|2+|PF|2，再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．

【解答】解：

由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，

因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，

此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，

|OP|2+|PF|2的最小值为2．

故答案为：

2．

12．在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：

x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为　y2=2x﹣1　．

【考点】轨迹方程．

【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，利用2=+，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程．

【解答】解：

由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，

设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），则

∵2=+，

∴2（x﹣m，y﹣n）=（a﹣m，b﹣n）+（1﹣m，﹣n），

∴2x=a+1，2y=b，

∴a=2x﹣1，b=2y，

∵b2=4a，

∴（2y）2=4（2x﹣1），即y2=2x﹣1．

故答案为：

y2=2x﹣1．

二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

13．“”是“方程组有唯一解”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据两直线间的位置关系，从而得到答案．

【解答】解：

由

⇔a1b2≠a2b1，

⇔直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，

⇔方程组有唯一解，

故选：

C．

16．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（　　）

A．在x轴上 B．在y轴上

C．当a＞b时，在x轴上 D．当a＞b时，在y轴上

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用题设不等式，令二者平方，整理求得﹣＞0，即可判断出焦点的位置．

【解答】解：

∵a|y0|＞b|x0|≥0

∴平方a2y02＞b2x02

∴﹣＞0

∴焦点在y轴

故选：

B．

三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知：

、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）

（1）若||=2，且∥，求的坐标；

（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．

【分析】

（1）设，由||=2，且∥，知，由此能求出的坐标．

（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角θ．

【解答】解：

（1）设，

∵||=2，且∥，

∴，…

解得或，…

故或．…

（2）∵，

∴，

即，…

∴，

整理得，…

∴，…

又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…

18．已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：

x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．

【考点】两直线的夹角与到角问题．

【分析】根据条件求出直线l的倾斜角，可得直线l的斜率，再用点斜式求得直线l的方程．

【解答】解：

由于直线l0：

x﹣y+2=0的斜率为，故它的倾斜角为，

由于直线l和直线l0：

x﹣y+2=0的夹角为，故直线l的倾斜角为或，

故直线l的斜率不存在或斜率为﹣．

再根据直线l经过点P（﹣2，），可得直线l的方程为x=﹣2，或y﹣=﹣（x+2），

即x=﹣2，或x+y﹣1=0．

如图：

19．如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E：

+=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．

（1）求椭圆E的方程；

（2）求△ABC的面积．

【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

【分析】

（1）由题意可得a=2，再由正三角形的条件可得a=b，解得b，进而得到椭圆方程；

（2）由题意写出A点坐标，直线CB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点C、B的纵坐标，S△ABC=|OA|•|yB﹣yC|，代入数值即可求得面积．

【解答】解：

（1）A的坐标为（2，0），即有a=2，

椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，

可得a=b，解得b=2，

则椭圆E的方程为，

（2）直线BC的方程为y=x，

代入椭圆方程x2+3y2=12，得y=x=±，

∴S△ABC=|OA|•|yB﹣yC|=×2=6，

△ABC的面积为6．

20．如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．

（1）求双曲线的方程；

（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．

【考点】圆锥曲线的实际背景及作用；双曲线的标准方程．

【分析】

（1）根据上半个圆所在圆的方程得出两圆的圆心与半径，再求出双曲线的顶点坐标与标准方程；

（2）设点P的坐标，根据∠F1PF2是直角得出方程x2+y2=8，分别与双曲线和圆的方程联立，即可求出点P的坐标，注意检验，排除不合题意的坐标．

【解答】解：

（1）上半个圆所在圆的方程为x2+y2﹣4y﹣4=0，圆心为（0，2），半径为2；

则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2；

双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，

由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±2，

即有交点为（±2，2）；

设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），

则﹣=1，且a=2，解得b=2；

所以双曲线的方程为﹣=1；

（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），

若∠F1PF2是直角，设点P（x，y），则有x2+y2=8，

由，

解得x2=6，y2=2；

由，

解得y=±1（不满足题意，应舍去）；

所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（±，）和（±，﹣）．

21．对于曲线C：

f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．

（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？

若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；

（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．

【考点】曲线与方程．

【分析】

（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；

（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围，把x2+y2转化为含有x的代数式，分类讨论得答案．

【解答】解：

（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，

∴曲线y2=4x不是“有界曲线”；

∵曲线（x﹣1）2+y2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：

由图可知曲线（x﹣1）2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x﹣1）2+y2=4是“有界曲线”，

其外确界为3，内确界为1；

（2）由已知得：

，

整理得：

（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，

∴，

∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，

∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，

则=，

∵1﹣a≤x2≤a+1，

∴（a﹣2）2≤4x2+a2≤（a+2）2，

即，

当0＜a＜1时，2﹣a，则，

∴，则曲线C的外确界与内确界分别为；

当1≤a≤2时，2﹣a，则，

∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；

当2＜a≤3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，

∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；

当a＞3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，

∴，则曲线C的外确界与内确界分别为，．

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