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应用题分类

一元一次方程应用题

列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。

许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；下面从以下几个方面分类对常见的数学问题加以阐述，希望对同学们有所帮助.

知识点

1、用列方程的方法解决实际问题的一般思路是分析数量关系，列出方程。

2、列方程的实质就是用两种不同的方法来表示同一个量，建立等式。

3、列方程解应用题的一般步骤是设未知数，列方程，解方程，求出方程的解。

4、实际问题中的数量关系比较隐蔽，关键是审题，弄清问题背景，分析清楚数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的相等关系。

学习本专题注意事项：

1.认真读题（很重要）

2.找出有用的数据

3.找出等量关系（具体见下分析），列方程；

有时可能找到不止一个等量关系，用一个可以将所有数据都用到的等量关系列方程，其他的用已知数据表示上等量关系中的量,注意等量关系不能重复使用（如3.劳力调配问题例）

4.设未知量时设一个好列方程的量为x，若找不到，直接设所问的量为x

1.和、差、倍、分问题：

（1）倍数关系：

通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。

（2）多少关系：

通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

 例.根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数据，截止到2001年11月1日0时，全国每10万人中具有小学文化程度的人口为35701人，比1990年7月1日减少了3.66%，1990年6月底每10万人中约有多少人具有小学文化程度？

分析：

等量关系为：

两年的百分比之间的关系为：

90年的-3.66%=01年的

解：

设1990年6月底每10万人中约有x人具有小学文化程度

X÷100000-3.66%=35701÷100000

1.某校共有学生1049人，女生占男生的40%，求男生的人数。

2.两个村共有834人，甲村的人数比乙村的人数的一半还少111人，两村各有多少人？

3.两组工人，按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额20％、第二组超额15％完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件。

问本月原计划每组各生产多少个零件？

2.等积变形问题：

“等积变形”是以形状改变而体积或面积不变为前提。

常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变；

②原料体积＝成品体积。

 例.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为

内高为81mm的长方体铁盒倒满水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？

（结果保留整数

）

分析：

等量关系为：

圆柱形玻璃杯倒出的水体积＝长方体铁盒的体积

解：

玻璃杯中的水的高度下降多少xmm

1.一个长方形的周长长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可成为一个正方形，设长方形的长为

cm，可列方程是

2.在一只底面直径为30厘米，高为8厘米的圆锥形容器中倒满水，然后将水倒入一只底面直径为10厘米的圆柱形空容器里，圆柱形容器中的水有多高？

3.将棱长为20cm的正方体铁块锻造成一个长为100cm，宽为5cm的长方体铁块，求长方体铁块的高度。

4.将棱长为20cm的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm2，问量筒中水面升高了多少cm？

5.如图所示，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的六分之一，相当于小长方形面积的四分之一，阴影部分的面积为224cm2，求重叠部分面积。

3.劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

例.甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。

分析：

等量关系

（1）原来甲车间的人数+100=（原来乙车间的人数-100）×6

（2）原来甲车间的人数-100=原来乙车间的人数+100

解：

设求原来乙车间的x人，由等量关系

（2）得原来甲车间的人数=x+200,代入

（1）中得方程

x+200+100=（x-100）×6

1.某厂一车间有64人，二车间有56人。

现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。

问需从第一车间调多少人到第二车间？

2.甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下来的人数是原乙队人数的一半还多15人。

求甲、乙两队原有人数各多少人？

4.比例分配问题：

这类问题的一般思路为：

设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。

常用等量关系：

各部分之和＝总量,比值相等

 例.三个正整数的比为1：

2：

4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？

解；设最小的数为x，则中间数为2x，最大数字为4x

x+2x+4x=84

1.图纸上某零件的长度为32cm，它的实际长度是4cm，那么量得该图纸上另一个零件长度为12cm，求这个零件的实际长度。

2.一时期，日元与人民币的比价为25.2：

1，那么日元50万，可以兑换人民币多少元？

3.魏老师到市场去买菜，发现若把10千克的菜放到秤上，指针盘上的指针

转了180°.如图，第二天魏老师就给同学们出了两个问题：

（1）如果把0.5千克的菜放在秤上，指针转过多少角度?

（2）如果指针转了540，这些菜有多少千克?

4.地图上测量有一条路长度为10厘米，地图的比例显示为1:

10000，则这条路的实际长为？

5.数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：

100a+10b+c。

（2）数字问题中一些表示：

两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。

例.一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数

分析：

等量关系:

（1）现在的两位数-原来的两位数=36

（2）原来的两位数个位上的数=十位上的数×2

解：

原来的两位数十位上的数为x,则由

（2）得原来的两位数个位上的数为2x

现在的两位数=2x×10+x,所以由

（1）得方程

（2x×10+x）-（x×10+2x）=36

现在的两位数原来的两位数

1.有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。

2.一个五位数最高位上的数字是2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得的数比原来的数的3倍多489，求原数。

3.将连续的奇数1，3，5，7，9…，排成如下的数表：

（1）十字框中的五个数的平均数与15有什么关系？

（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？

若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由.

6.工程问题：

　工程问题中的三个量及其关系为：

工作总量=工作效率×工作时间

经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1，则工作效率=1/工作时间

 例.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

分析:

设工程总量为单位1，等量关系为：

甲、乙合作3天后+乙单独完成剩下工程=1

解：

设乙还要x天才能完成全部工程

1.某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。

如先由甲队做4天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？

2.已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作15小时可以将空水池放满，出水管工作24小时可以将满池的水放完；

（1）如果单独打开进水管，每小时可以注入的水占水池的几分之几？

（2）如果单独打开出水管，每小时可以放出的水占水池的几分之几？

（3）如果将两管同时打开，每小时的效果如何？

如何列式？

（4）对于空的水池，如果进水管先打开2小时，再同时开两管，问注满水池还需要多少时间？

3.有一个水池，用两个水管注水。

如果单开甲管，2小时30分注满水池，如果单开

乙管，5小时注满水池。

①如果甲、乙两管先同时注水20分钟，然后由乙单独注水。

问还需要多少时间才能把

水池注满？

②假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管3小时可以把一满池水放完。

如果三

管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？

 7.行程问题：

（1）行程问题中的三个基本量及其关系：

路程=速度×时间。

（2）基本类型有　　①相遇问题；②追及问题；

常见的还有：

相背而行；行船问题；环形跑道问题。

　　（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。

并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。

 　　例.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

　　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

　　此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。

故可结合图形分析。

（1）分析：

相遇问题，画图表示为：

等量关系是：

　慢车路程+快车路程=480，慢车时间=快车时间+1小时

解：

设快车开出t小时后两车相遇

140t+90（t+1）=480

（2）分析：

相背而行，画图表示为：

等量关系是：

慢车路程+快车路程+480=600,慢车时间=快车时间

　解：

相背而行t小时后两车相距600公里

140t+90t+480=600

（3）分析：

追及问题,画图表示为

等量关系为：

快车路程+480公里－慢车路程=600公里,慢车时间=快车时间

　　解：

设x小时后两车相距600公里，

140t+480-90t=600

（4）分析：

追及问题，画图表示为：

等量关系为：

慢车路程+480公里=快车路程,慢车时间=快车时间　　

解：

设t小时后快车追上慢车

90t+480=140t

（5）分析：

追及问题画图表示为：

等量关系为：

快车的路程=慢车走的路程+480公里,慢车时间=快车时间+1

解：

快车开出后t小时追上慢车

140t=90（t+1）+480

1.从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲乙两地相距x千米，则列方程为________________。

2.甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度。

3.某人从家里骑自行车到学校。

若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？

4.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。

行人的速度是每小时3.6Km，骑自行车的人的速度是每小时10.8Km。

如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车人的时间是26秒。

（1）火车的速度为每秒多少米；

（2）求这列火车的身长是多少米。

5.休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？

8.利润赢亏问题

（1）销售问题中常出现的量有：

进价、售价、标价、利润等

（2）有关关系式：

商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价

商品售价=商品标价×折扣率

例.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

分析：

探究题目中隐含的条件是关键，可直接设成本为x元

进价

折扣率

标价

优惠价

利润

x元

8折

（1+40%）x元

80%（1+40%）x

15元

等量关系：

利润=折扣后价格—进价,折扣后价格－进价=15

解：

设进价为x元，

80%（1+40%）x-x=15

1.某商场将进价为每件X元的上衣标价为m元，在此基础上再降价10%，顾客需付款270元。

已知进价x元是标价m元的60%，则x的值是（）

2.如果某商品进价的降低5%，而售价不变，利润率可提高15个百分点，求此商品的原来的利润率

3.某商场出售某种文具，每件可盈利2元，为支援贫困山区的小朋友，按7折收给某山区学校，结果每件盈利0.20元。

问该文具的进价是每件多少元？

4.某商品进价1500元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润率为20%，则此商品是按几折销售的？

5.某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

6.某种商品的市场需求量D（千件）与单价p（元/件）服从需求关系:

.问：

（1）当单价为4元时,市场需求量是多少?

（2）若单价在4元基础上又涨价1元,则需求量发生了怎样的变化?

7.八一体育馆设计一个由相同的正方体搭成的标志物（如图所示），每个正方体的棱长为1米，其暴露在外面的面（不包括最底层的面）用五夹板钉制而成，然后刷漆。

每张五夹板可做两个面，每平方米用漆500克．

（1）建材商店将一张五夹板按成本价提高40％后标价，又以8折优惠卖出，结果每张仍获利4.8元（五夹板必须整张购买）：

（2）油漆店开展“满100送20，多买多送的酬宾活动”，所购漆的售价为每千克34元．试问购买五夹板和油漆共需多少钱?

9.储蓄问题

（1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。

利息的20%付利息税

（2）利息=本金×年利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率（20%）

（3）年存储利息=本金×年利率×年数注意银行给利率都是年利率期数的单位为年

例.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。

半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？

（不计利息税）

分析：

等量关系：

本息和=本金+本金×利率×期数，半年的期数为1/2年

解：

设半年期的年利率为x，

250+250x×1/2=252.7

1.莉莉的叔叔将打工挣来的25000元钱存入银行，整存整取三年，年利率为3.24%，三年后本金和利息共有元（不计利息税）

2.本人三年前存了一份3000元的教育储蓄，今年到期时的本利和为3243元，请你帮我算一算这种储蓄的年利率。

若年利率为x%，则可列方程__________________________。

3.国家规定：

存款利息税=利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为1.98%.小明有一笔一年定期存款，如果到期后全取出，可取回1219元。

若设小明的这笔一年定期存款是x元，则下列方程中正确的是（）

（

）

（

）

（

）

（

）

10．行船问题：

顺水航速=静水船速+水流速度，逆水航速=静水船速-水流速度。

例.一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？

分析：

等量关系：

顺水航行距离=逆水航行距离

解：

设船在静水中的速度为x千米每小时

2（x+3）=3（x-3）

1.一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间距离。

11．年龄问题：

注意比对象的年龄也同时在增长

例：

甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是？

分析：

等量关系：

（1）甲的年龄-乙的年龄=15，

（2）5年前甲的年龄=5年前乙的年龄×2

解：

设乙现在的年龄是x岁，由等量关系

（1）得甲的现在的年龄是x+15岁

再由等量关系

（2）得方程x+15-5=（x-5）×2

1.小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄

12．配套问题：

各件的总数比例和每一套中各件的比例相等

例：

机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

分析：

等量关系：

大齿轮总数÷小齿轮总数=一套中的大齿轮数÷一套中的小齿轮数

加工大齿轮工人+加工小齿轮工人=85

解：

设x名工人加工大齿轮，则加工小齿轮的工人有85-x人

16x:

[10（85-x）]=2:

3

1.某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？

2.包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，将两张圆形铁片与和一张可配套成一个密封圆桶，问如何安排工人生产圆形或长方形铁片能合理地将铁片配套？

3.某部队派出一支有25人组织的小分队参加防汛抗洪斗争，若每人每小时可装泥土18袋或每2人每小时可抬泥土14袋，如何安排好人力，才能使装泥和抬泥密切配合，而正好清场干净。

4.某车间加工机轴和轴承，一个工人每天平均可加工15个机轴或10个轴承。

该车间共有80人，一根机轴和两个轴承配成一套，问应分配多少个工人加工机轴或轴承，才能使每天生产的机轴和轴承正好配套。

5.某厂生产一批西装，每2米布可以裁上衣3件，或裁裤子4条，现有花呢240米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用花呢多少米？

13．增长率问题：

增长率=增长量÷原来的产量或增长量=原来的产量×增长率

例：

某印刷厂第三季度印刷了科技书籍50万册，而第四季度印刷了58万册，求季度的增长率是多少？

解：

设增长率为x

58-50=50X

1.某化肥厂去年生产化肥3200吨，今年计划生产3600吨，今年计划比去年增产%

2.某加工厂有出米率为70%的稻谷加工大米，现在加工大米100公斤，设要这种大米x公斤，则列出的正确的方程是。

。

3.甲、乙两厂去年完成任务的112%和110%，共生产机床4000台，比原来两厂任务之和超产400台，问甲厂原来的生产任务是多少台？

14．浓度问题：

1.浓度=物质的纯质量÷（物质的纯质量+水）

2.一定注意物质的纯质量的变化和总得溶液的质量的变化

例：

某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175千克，要把它配成浓度为25%的硫酸，需要加入浓度为50％的硫酸多少千克？

分析：

等量关系：

15%的稀硫酸中的纯硫酸+50％的硫酸中的纯硫酸=25%的硫酸中的纯硫酸

175×15%+50％x=25%（x+175）

配成浓度为25%的硫酸的总质量

1.有含盐20%的盐水5千克，要配制成含盐8%的盐水，需加水______________千克。

2.今需将浓度为80％和15％的两种农药配制成浓度为20％的农药4千克，问两种农药应各取多少千克？

3.甲、乙两块合金，含银和铜的比分别是甲为4：

3，乙为7：

9，今从两块合金中各取多少千克，能得到含银84千克、含铜82千克的新合金？

4.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%，现在要熔制含银30%的合金100千克，两种合金应各取多少？

15古典数学：

例：

有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

分析：

鸡和兔各一个头，所以等量关系

（1）鸡+兔=88，

鸡两只脚，兔有4只脚，所以等量关系

（2）鸡脚+兔脚=244

解：

设鸡有x只,则兔有88-x只

2x+4（88-x）=244

1.100个和尚100个馍，大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一个，问有多少大和尚，多少小和尚。

16方案设计与成本分析：

1.我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售每吨获利7500元。

当地一家农工商企业收购这种蔬菜140吨，该企业加工厂的生产能力是：

如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果进行细加工，每天可以加工6吨，但两种加工方式不能同时进行。

受季节条件限制，企业必须在15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，企业研制了三种可行方案。

方案一：

将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：

尽可能多的对蔬菜进行精加工，来不及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；

方案三：

将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天。

你认为哪种方案获利最多？

为什么

2.牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若在市场上直接销售鲜奶（每天可销售8吨），每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每加工1吨鲜奶可获利润1200元；制成奶片销售，每加工1吨鲜奶可获利润2000元．该厂的生产能力是：

若制酸奶，每天可加工3吨鲜奶；若制奶片，每天可加工1吨鲜奶；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．

请你帮牛奶加工厂设计一种方案，使这8吨鲜奶既能在4天内全部销售或加工完毕，又能获得你认为最多的利润．

3.某市剧院举办大型文艺演出，其门票价格为：

一等席300元／人,二等席200元／人，三等席150元／人,某公司组织员工36人去观看,计划用5850元购买2种门票,请你帮助公司设计可能的购票方案。

4.小明家搬了新居要购买新冰箱，小明和妈妈在商场看中了甲、乙两种冰箱．其中，甲冰箱的价格为2100元，日耗电量为1度；乙冰箱是节能型新产品，价格为2220元，日耗电量为0.5度，并且两种冰箱的效果是相同的.老板说甲冰箱可以打折，但是乙冰箱不能打折，请你就价格方面计算说明，甲冰箱至少打几折时购买甲冰箱比较合算？

（每度电0.5元，两种冰箱的使用寿命均为10年，平均每年使用300天）

17．设辅助未知数：

1.某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会,入场券分为团体票和零售票,其中团体票占总票数的

若提前购票,则给予不同程度的优惠.在五月份内,团体票每张12元,共售出团体票的

零售票每张16元,共售出零售票的一半,如果在六月份内,团体票按16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？

2.现对某商品降价10％促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加百分之几？

18．比赛积分问题：

1.某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：

每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。

已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了几道题。

2.某学校七年