抛物线复习(几个常见结论及其应用).doc

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抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：

若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：

，。

证明：

因为焦点坐标为F（,0）,当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：

，

由得:

∴，。

当AB⊥x轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：

。

例：

已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：

为定值。

证明：

设，，由抛物线的定义知：

，，又+=，所以+=-p，且由结论一知：

。

则：

=（常数）

结论二：

（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

证明：

（1）设，，设直线AB:

由得:

∴，，

∴。

易验证，结论对斜率不存在时也成立。

（2）由

（1）：

AB为通径时，，的值最大，最小。

例：

已知过抛物线的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为。

解：

由结论二，12=（其中α为直线AB的倾斜角），

则，所以直线AB倾斜角为或。

结论三：

两个相切：

（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：

（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

B

A

M

N

Q

P

y

x

O

F

（2）分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：

以MN为直径的圆与直线AB相切。

证明：

（1）设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，

垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。

由抛物线定义：

，，

∴，

∴以AB为直径为圆与准线l相切

O

A

M

N

P

y

x

F

（2）作图如

（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，

∵，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO，

∴∠AFM=∠MFO。

同理，∠BFN=∠NFO，

∴∠MFN=（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO）=90°，

B

∴，

∴∠PFM=∠FMP

∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP⊥AB

∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。

结论四：

若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。

反之也成立。

证明：

设直线AB方程为:

，由得，△>0，，

∵AO⊥BO，∴⊥∴

将，代入得，。

∴直线AB恒过定点（0，1）。

∴当且仅当k=0时，取最小值1。

结论五：

对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率．

例　直线与抛物线相交于原点和点，为抛物线上一点，和垂直，且线段长为，求的值．

解析：

设点分别为，则，．

的坐标分别为．．．

练习：

1.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则=　　

　【解析：

化为标准方程，得，从而．取特殊情况，过焦点的弦垂直于对称轴，则为通径，即，从而，故】

2.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点．点在抛物线的准线上，且轴．证明直线经过原点．

【证明：

抛物线焦点为．设直线的方程为，代入抛物线方程，得．若设，则．　　轴，且点在准线；

　　又由，得，　　故，即直线经过原点．】

3.已知抛物线的焦点是，准线方程是，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．

【解：

设是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得．

　　整理，得，此即为所求抛物线的方程．

　　抛物线的对称轴应是过焦点且与准线垂直的直线，因此有对称轴方程．

　设对称轴与准线的交点为，可求得，于是线段的中点就是抛物线的顶点，坐标是】

备选

1.抛物线的顶点坐标是，准线的方程是，试求该抛物线的焦点坐标和方程．

　　解：

依题意，抛物线的对称轴方程为．

　　设对称轴和准线的交点是，可以求得．设焦点为，则的中点是，故得焦点坐标为．　　再设是抛物线上的任一点，

根据抛物线的定义得，化简整理得，即为所求抛物线的方程．

例2已知为抛物线上两点，且，求线段中点的轨迹方程．

解析：

设，，

据的几何意义，可得．

设线段中点，则

消去参数得点的轨迹方程为．