数学必修一练习题汇总(含答案).doc
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第一章综合练习
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为（ ）
A．3 B．6
C．7 D．8
解析：
含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故有7个．
答案：
C
2．下列五个写法，其中错误写法的个数为（ ）
①{0}∈{0,2,3}；②Ø{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈Ø；⑤0∩Ø＝Ø
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：
②③正确．
答案：
C
3．使根式与分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式＋有意义的x的允许值集合可表示为（ ）
A．M∪F B．M∩FC．∁MF D．∁FM
解析：
根式＋有意义，必须与同时有意义才可．
答案：
B
4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于（ ）
A．N B．MC．R D．Ø
解析：
M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.
答案：
A
5．函数y＝x2＋2x＋3（x≥0）的值域为（ ）
A．R B．[0，＋∞）C．[2，＋∞） D．[3，＋∞）
解析：
y＝x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，∴函数在区间[0，＋∞）上为增函数，故y≥（0＋1）2＋2＝3.
答案：
D
6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于（ ）
A．20－2x（0C．20－2x（5≤x≤10） D．20－2x（5解析：
C＝20＝y＋2x，由三角形两边之和大于第三边可知2x>y＝20－2x，x>5.
答案：
D
7．用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的（ ）
甲
乙
图1
解析：
水面升高的速度由慢逐渐加快．
答案：
B
8．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
①y＝f（|x|）②y＝f（－x）③y＝xf（x）④y＝f（x）＋x
A．①③ B．②③C．①④ D．②④
解析：
因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x）．①y＝f（|x|）为偶函数；②y＝f（－x）为奇函数；③令F（x）＝xf（x），所以F（－x）＝（－x）f（－x）＝（－x）·[－f（x）]＝xf（x）．所以F（－x）＝F（x）．所以y＝xf（x）为偶函数；④令F（x）＝f（x）＋x，所以F（－x）＝f（－x）＋（－x）＝－f（x）－x＝－[f（x）＋x]．所以F（－x）＝－F（x）．所以y＝f（x）＋x为奇函数．
答案：
D
9．已知0≤x≤，则函数f（x）＝x2＋x＋1（ ）
A．有最小值－，无最大值 B．有最小值，最大值1
C．有最小值1，最大值 D．无最小值和最大值
解析：
f（x）＝x2＋x＋1＝（x＋）2＋，画出该函数的图象知，f（x）在区间[0，]上是增函数，所以f（x）min＝f（0）＝1，f（x）max＝f（）＝.
答案：
C
10．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y＝f（x）的图象如图2甲所示，则函数f（|x|）的图象是图2乙中的（ ）
甲
乙
图2
解析：
因为y＝f（|x|）是偶函数，所以y＝f（|x|）的图象是由y＝f（x）把x≥0的图象保留，再关于y轴对称得到的．
答案：
B
11．若偶函数f（x）在区间（－∞，－1]上是增函数，则（ ）
A．f（－）（2） B．f（－1）（2）
C．f
（2）（2）解析：
由f（x）是偶函数，得f
（2）＝f（－2），又f（x）在区间（－∞，－1]上是增函数，且－2<－<－1，则f
（2）答案：
D
12.已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），则f的值是（ ）
A．0B.C．1D.
解析：
令x＝－，则－f（）＝f（－），又∵f（）＝f（－），∴f（）＝0；令x＝，f（）＝f（），得f（）＝0；令x＝，f（）＝f（），得f（）＝0；而0·f
（1）＝f（0）＝0，∴f＝f（0）＝0，故选A.
答案：
A
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．设全集U＝{a，b，c，d，e}，A＝{a，c，d}，B＝{b，d，e}，则∁UA∩∁UB＝________.
解析：
∁UA∩∁UB＝∁U（A∪B），而A∪B＝{a，b，c，d，e}＝U.
答案：
Ø
14．设全集U＝R，A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1≤x<2}，则∁U（A∩B）＝________.
解析：
A∩B＝{x|1≤x<2}，∴∁R（A∩B）＝{x|x<1或x≥2}．
答案：
{x|x<1或x≥2}
15．已知函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，3]上为减函数，求实数a的取值范围为________．
解析：
函数f（x）的对称轴为x＝1－a，则由题知：
1－a≥3即a≤－2.
答案：
a≤－2
16．若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0）、f
（1）、f（－2）从小到大的顺序是__________．
解析：
∵f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，∴m＝0.
∴f（x）＝－x2＋2.∴f（0）＝2，f
（1）＝1，f（－2）＝－2，∴f（－2）（1）答案：
f（－2）（1）三、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分）
17．（10分）设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，
（1）当x∈N*时，求A的子集的个数；
（2）当x∈R且A∩B＝Ø时，求m的取值范围．
解：
（1）∵x∈N*且A＝{x|－2≤x≤5}，
∴A＝{1,2,3,4,5}．故A的子集个数为25＝32个．
（2）∵A∩B＝Ø，
∴m－1>2m＋1或2m＋1<－2或m－1>5，
∴m<－2或m>6.
18．（12分）已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠Ø且B⊆A，求a，b的值．
解：
（1）当B＝A＝{－1,1}时，易得a＝0，b＝－1；
（2）当B含有一个元素时，由Δ＝0得a2＝b，
当B＝{1}时，由1－2a＋b＝0，得a＝1，b＝1
当B＝{－1}时，由1＋2a＋b＝0，得a＝－1，b＝1.
19．（12分）已知函数f（x）＝（a，b为常数，且a≠0），满足f
（2）＝1，方程f（x）＝x有唯一实数解，求函数f（x）的解析式和f[f（－4）]的值．
解：
∵f（x）＝且f
（2）＝1，∴2＝2a＋b.
又∵方程f（x）＝x有唯一实数解．
∴ax2＋（b－1）x＝0（a≠0）有唯一实数解．
故（b－1）2－4a×0＝0，即b＝1，又上式2a＋b＝2，可得：
a＝，从而f（x）＝＝，
∴f（－4）＝＝4，f（4）＝＝，即f[f（－4）]＝.
20．（12分）已知函数f（x）＝4x2－4ax＋（a2－2a＋2）在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a的值．
解：
f（x）＝42＋2－2a.
（1）当<0即a<0时，f（x）min＝f（0）＝a2－2a＋2＝3，解得：
a＝1－.
（2）0≤≤2即0≤a≤4时，f（x）min＝f＝2－2a＝3，解得：
a＝－（舍去）．
（3）>2即a>4时，f（x）min＝f
（2）＝a2－10a＋18＝3，解得：
a＝5＋，
综上可知：
a的值为1－或5＋.
21．（12分）某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择．若该货物在运输过程中（含装卸时间）的损耗为300元/小时，其他主要参考数据如下：
运输工具
途中速度（千米/小时）
途中费用（元/千米）
装卸时间（小时）
装卸费用（元）
汽车
50
8
2
1000
火车
100
4
4
1800
问：
如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小？
解：
设甲、乙两地距离为x千米（x>0），选用汽车、火车运输时的总支出分别为y1和y2.
由题意得两种工具在运输过程中（含装卸）的费用与时间如下表：
运输工具
途中及装卸费用
途中时间
汽车
8x＋1000
＋2
火车
4x＋1800
＋4
于是y1＝8x＋1000＋（＋2）×300＝14x＋1600，
y2＝4x＋1800＋（＋4）×300＝7x＋3000.
令y1－y2<0得x<200.
①当0②当x＝200时，y1＝y2，此时选用汽车或火车均可；
③当x>200时，y1>y2，此时应选用火车．
故当距离小于200千米时，选用汽车较好；当距离等于200千米时，选用汽车或火车均可；当距离大于200千米时，选用火车较好．
22．（12分）已知f（x）的定义域为（0，＋∞），且满足f
（2）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），又当x2>x1>0时，f（x2）>f（x1）．
（1）求f
（1）、f（4）、f（8）的值；
（2）若有f（x）＋f（x－2）≤3成立，求x的取值范围．
解：
（1）f
（1）＝f
（1）＋f
（1），∴f
（1）＝0，f（4）＝f
（2）＋f
（2）＝1＋1＝2，f（8）＝f
（2）＋f（4）＝2＋1＝3.
（2）∵f（x）＋f（x－2）≤3，∴f[x（x－2）]≤f（8），又∵对于函数f（x）有x2>x1>0时f（x2）>f（x1），∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数．
∴⇒2第二章综合练习
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．计算log225·log32·log59的结果为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：
原式＝··＝··＝6.
答案：
D
2．设f（x）＝则f（f
（2））的值为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：
f
（2）＝log3（22－1）＝1，f（f
（2））＝2e1－1＝2e0＝2.
答案：
C
3．如果logx>0成立，则x应满足的条件是（ ）
A．x> B.C．x<1 D．0解析：
由对数函数的图象可得．
答案：
D
4．函数f（x）＝log3（2－x）在定义域区间上是（ ）
A．增函数 B．减函数
C．有时是增函数有时是减函数 D．无法确定其单调
解析：
由复合函数的单调性可以判断，内外两层单调性相同则为增函数，内外两层的单调性相反则为减函数．
答案：
B
5．某种放射性元素，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）
A．0.015克 B．（1－0.5%）3克
C．0.925克 D.克
解析：
设该放射性元素满足y＝ax（a>0且a≠1），则有＝a100得a＝（）.
可得放射性元素满足y＝[（）]x＝（）.当x＝3时，y＝（）＝＝.
答案：
D
6．函数y＝log2x与y＝logx的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于y＝x对称
解析：
据图象和代入式判定都可以做出判断，故选B.
答案：
B
7．函数y＝lg（－1）的图象关于（ ）
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．y＝x对称
解析：
f（x）＝lg（－1）＝lg，f（－x）＝lg＝－f（x），所以y＝lg（－1）关于原点对称，故选C.
答案：
C
8．设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．ac>bc B．logab>logac
C．ca>cb D．logbc解析：
y＝xc在（0，＋∞）上递增，因为a>b，则ac>bc；y＝logax在（0，＋∞）上递增，因为b>c，则logab>logac；y＝cx在（－∞，＋∞）上递增，因为a>b，则ca>cb.故选D.
答案：
D
9．已知f（x）＝loga（x＋1）（a>0且a≠1），若当x∈（－1,0）时，f（x）<0，则f（x）是（ ）
A．增函数 B．减函数
C．常数函数 D．不单调的函数
解析：
由于x∈（－1,0），则x＋1∈（0,1），所以a>1.因而f（x）在（－1，＋∞）上是增函数．
答案：
A
10．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．bC．b>c>a D．a解析：
a＝＝，b＝，c＝＝.∵243<124<66，
∴<<，即a答案：
D
11．若方程ax＝x＋a有两解，则a的取值范围为（ ）
A．（1，＋∞） B．（0,1）
C．（0，＋∞） D．Ø
解析：
分别作出当a>1与0（1）当a>1时，图象如下图1，满足题意．
（2）当0答案：
A
12．已知f（x）是偶函数，它在（0，＋∞）上是减函数，若f（lgx）>f
（1），则x的取值范围是（ ）
A．（，1） B．（0，）∪（1，＋∞）
C．（，10） D．（0,1）∪（0，＋∞）
解析：
由于f（x）是偶函数且在（0，＋∞）上是减函数，所以f（－1）＝f
（1），且f（x）在（－∞，0）上是增函数，应有解得答案：
C
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若函数f（x）＝ax（a>0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，－1），则a＝________.
解析：
由互为反函数关系知，f（x）过点（－1,2），代入得a－1＝2⇒a＝.
答案：
14．方程log2（x－1）＝2－log2（x＋1）的解为________．
解析：
log2（x－1）＝2－log2（x＋1）⇔log2（x－1）＝log2，即x－1＝，解得x＝±（负值舍去），∴x＝.
答案：
15．设函数f1（x）＝x，f2（x）＝x－1，f3（x）＝x2，则f1（f2（f3（2007）））＝________.
解析：
f1（f2（f3（2007）））＝f1（f2（20072））＝f1（（20072）－1）＝[（20072）－1]＝2007－1.
答案：
16．设0≤x≤2，则函数y＝4x－－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．
解析：
设2x＝t（1≤t≤4），则y＝·4x－3·2x＋5＝t2－3t＋5＝（t－3）2＋.
当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝×4＋＝.
答案：
三、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分）
17．（10分）已知a＝（2＋）－1，b＝（2－）－1，求（a＋1）－2＋（b＋1）－2的值．
解：
（a＋1）－2＋（b＋1）－2＝（＋1）－2＋（＋1）－2＝（）－2＋（）－2＝（＋）＝[（7＋4）（2－）＋（7－4）（2＋）]＝×4＝.
18．（12分）已知关于x的方程4x·a－（8＋）·2x＋4＝0有一个根为2，求a的值和方程其余的根．
解：
将x＝2代入方程中，
得42·a－（8＋）·22＋4＝0，解得a＝2.
当a＝2时，原方程为
4x·2－（8＋）2x＋4＝0，
将此方程变形化为2·（2x）2－（8＋）·2x＋4＝0.
令2x＝y，得2y2－（8＋）y＋4＝0.
解得y＝4或y＝.
当y＝4时，即2x＝4，解得x＝2；
当y＝时，2x＝，解得x＝－.
综上，a＝2，方程其余的根为－.
19．（12分）已知f（x）＝，证明：
f（x）在区间（－∞，＋∞）上是增函数．
证明：
设任意x1，x2∈（－∞，＋∞）且x1f（x1）－f（x2）＝－＝＝＝.∵x120．（12分）已知偶函数f（x）在x∈[0，＋∞）上是增函数，且f（）＝0，求不等式f（logax）>0（a>0，且a≠1）的解集．
解：
f（x）是偶函数，且f（x）在[0，＋∞）上递增，f（）＝0，
∴f（x）在（－∞，0）上递减，f（－）＝0，则有logax>，或logax<－.
（1）当a>1时，logax>，或logax<－，可得x>，或0（2）当0，或logax<－，可得0.
综上可知，当a>1时，f（logax）>0的解集为（0，）∪（，＋∞）；
当00的解集为（0，）∪（，＋∞）．
21．（12分）已知函数f（x）对一切实数x，y都满足f（x＋y）＝f（y）＋（x＋2y＋1）x，且f
（1）＝0，
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）当x∈[0，]时，f（x）＋3<2x＋a恒成立，求a的范围．
解：
（1）令x＝1，y＝0，则f
（1）＝f（0）＋（1＋1）×1，∴f（0）＝f
（1）－2＝－2.
（2）令y＝0，则f（x）＝f（0）＋（x＋1）x，∴f（x）＝x2＋x－2.
（3）由f（x）＋3<2x＋a，得a>x2－x＋1.设y＝x2－x＋1，则y＝x2－x＋1在（－∞，]上是减函数，所以y＝x2－x＋1在[0，]上的范围为≤y≤1，从而可得a>1.
22．（12分）设函数f（x）＝loga（1－），其中0（1）求证：
f（x）是（a，＋∞）上的减函数；
（2）解不等式f（x）>1.
解：
（1）证明：
设任意x1，x2∈（a，＋∞）且x10.∴<0，∴1＋<1，又∵00，∴f（x1）>f（x2），所以f（x）＝loga（1－）在（a，＋∞）上为减函数．
（2）因为01⇔loga（1－）>logaa⇔解不等式①，得x>a或x<0.解不等式②，得0第三章综合练习
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．二次函数f（x）＝2x2＋bx－3（b∈R）的零点个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：
∵Δ＝b2＋4×2×3＝b2＋24>0，
∴函数图象与x轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点．
答案：
C
2．函数y＝1＋的零点是（ ）
A．（－1,0） B．－1
C．1 D．0
解析：
令1＋＝0，得x＝－1，即为函数零点．
答案：
B
3．下列给出的四个函数f（x）的图象中能使函数y＝f（x）－1没有零点的是（ ）
解析：
把y＝f（x）的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．
答案：
C
4．若函数y＝f（x）在区间（－2,2）上的图象是连续不断的曲线，且方程f（x）＝0在（－2,2）上仅有一个实数根，则f（－1）·f
（1）的值（ ）
A．大于0 B．小于0
C．无法判断 D．等于零
解析：
由题意不能断定零点在区间（－1,1）内部还是外部．
答案：
C
5．函数f（x）＝ex－的零点所在的区间是（ ）
A．（0，） B．（，1）
C．（1，） D．（，2）
解析：
f（）＝－2<0， f
（1）＝e－1>0，∵f（）·f
（1）<0，∴f（x）的零点在区间（，1）内．
答案：
B
6．方程logx＝2x－1的实根个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．无穷多个
解析：
方程logx＝2x－1的实根个数只有一个，可以画出f（x）＝logx及g（x）＝2x－1的图象，两曲线仅一个交点，故应选B.
答案：
B
7．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于（ ）
A．55台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：
设产量为x台，利润为S万元，则S＝25x－y＝25x－（0.1x2－11x＋3000）
＝－0.1x2＋36x－3000
＝－0.1（x－180）2＋240，则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．
答案：
D
8．已知α是函数f（x）的一个零点，且x1<αA．f（x1）f（x2）>0 B．f（x1）f（x2）<0
C．f（x1）f（x2）≥0 D．以上答案都不对
解析：
定理的逆定理不成立，故f（x1）f（x2）的值不确定．
答案：
D
9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：
每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水（ ）
A．10吨 B．13吨
C．11吨 D．9吨
解析：
设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8.
则水费y＝16＋2×2（x－8）＝4x－16＝20，
∴x＝9.
答案：
D
10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：
前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图象为（ ）
答案：
A
11．函数f（x）＝|x2－6x＋8|－k只有两个零点，则（ ）
A．k＝0 B．k>1
C．0≤k<1 D．k>1，或k＝0
解析：
令y1＝|x2－6x＋8|，y2＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D.
答案：
D
12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根所在区间为（ ）
A．（0.6,1.0） B．（1.4,1.8）
C．（1.8,2.2） D．（2.6,3.0）
解析：
设f（x）＝2x－x2，由表格观察出x＝1.8时，2x>x2，即f（1.8）>0；
在x＝2.2时，2x综上知f（1.8）·f（2.2）<0，所以方程2x＝x2的一个根位于区间（1.8,2.2）内．
答案：
C
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间（2,4）上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是__________．
解析：
设f（x）＝x
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