苏北四市2017一模数学试卷.doc
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苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试
数学试题
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1、已知集合,则.
2、已知复数满足,其中为虚数单位,则的模为.
3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分,则剩下个
分数的方差为.
4、根据如图所示的伪代码,则输出的值为.
5、从这六个数中一次随机地取个数,则所取个数的和能被整除的概率
为.
6、若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点,则实数的值为
.
7、已知圆锥的底面直径与高都是,则该圆锥的侧面积为.
8、若函数的最小正周期为,则的值为.
9、已知等比数列的前项和为,若,则公比的值为
.
10、已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则不等式
的解集为.
11、若实数满足,则的最小值为.
12、已知非零向量满足,则与夹角的余弦值为.
13、已知是圆上的动点,,是圆
上的动点,则的取值范围为.
14、已知函数,若函数的图象与直线有三
个不同的公共点,则实数的取值集合为.
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明
或演算步骤)
15、在中,角的对边分别为.已知.
(1)求角的值;
(2)若,求的值.
16、如图,在四棱锥中,平面平面,四边形为矩形,
,点分别是的中点.
求证:
(1)直线∥平面;
(2)直线平面.
17、如图,已知两镇分别位于东西湖岸的处和湖中小岛的处,点在的
正西方向处,.现计划铺设一条电缆联通两镇,有
两种铺设方案:
①沿线段在水下铺设;②在湖岸上选一点,先沿线段在地
下铺设,再沿线段在水下铺设,预算地下、水下的电缆铺设费用分别为万元∕、
万元∕.
(1)求两镇间的距离;
(2)应该如何铺设,使总铺设费用最低?
18、如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为
,且右焦点到左准线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为椭圆的左顶点,为椭圆上位于轴上方的点,直线交轴于点
,过点作的垂线,交轴于点.
(ⅰ)当直线的斜率为时,求的外接圆的方程;
(ⅱ)设直线交椭圆于另一点,求的面积的最大值.
19、已知函数.
(1)解关于的不等式;
(2)证明:
;
(3)是否存在常数,使得对任意的恒成立?
若存在,求
出的值;若不存在,请说明理由.
20、已知正项数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若对于,都有成立,求实数取值范围;
(3)当时,将数列中的部分项按原来的顺序构成数列,且,证明:
存在无数个满足条件的无穷等比数列.
徐州市2017届高三期末调研测试
数学试题参考答案与评分标准
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.2.3.4.5.6.7.8.
9.10.11.12.13.14.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.
15.
(1)由正弦定理可知,,………………2分
即,因为,所以,
所以,即,………………………………………………4分
又,所以.……………………………………………………6分
(2)因为,,所以,…………………8分
所以,,……………10分
所以
………………………………12分
.…………………………………………………14分A
B
C
D
E
M
N
(第16题)
F
16.
(1)取中点,连结,,
又是的中点,所以,
又是矩形边的中点,
所以,所以,
所以四边形是平行四边形,…4分
所以,
又平面,平面,
所以∥平面.………………………………………………………7分
(2)在矩形中,,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,………………………………………………………10分
又平面,所以,
又,,,平面,
所以平面.………………………………………………………14分
17.
(1)过作的垂线,垂足为.
B
(第17题)
N
P
C
A
M
北
南
东
西
D
在中,,
所以,
在中,,
所以.
则,即,
所以,,
由勾股定理得,(km).
所以,两镇间的距离为km.……………………………………………4分
(2)方案①:
沿线段在水下铺设时,总铺设费用为(万元).………6分
方案②:
设,则,其中,
在中,,,
所以.
则总铺设费用为.………8分
设,则,
令,得,列表如下:
极小值
所以的最小值为.
所以方案②的总铺设费用最小为(万元),此时.……12分
而,
所以应选择方案②进行铺设,点选在的正西方向km处,总铺设费用最低.…………………………………………………………………………14分
18.
(1)由题意,得解得则,
所以椭圆的标准方程为.………………………………………4分
(2)由题可设直线的方程为,,则,
所以直线的方程为,则.
(i)当直线的斜率为,即时,,,,
因为,所以圆心为,半径为,
所以的外接圆的方程为.……………………………8分
(ii)联立消去并整理得,,
解得或,所以,……………………10分
直线的方程为,同理可得,,
所以,关于原点对称,即过原点.
所以的面积,……14分
当且仅当,即时,取“”.
所以的面积的最大值为.…………………………………………16分
19.
(1)当时,,所以的解集为;
当时,,
若,则的解集为;
若,则的解集为.
综上所述,当时,的解集为;
当时,的解集为;
当时,的解集为.……………………4分
(2)设,则.
令,得,列表如下:
极小值
所以函数的最小值为,
所以,即.…………………………………8分
(3)假设存在常数,使得对任意的恒成立,
即对任意的恒成立.
而当时,,所以,
所以,则,
所以恒成立,
①当时,,所以式在上不恒成立;
②当时,则,即,
所以,则.……………………………………………………12分
令,则,令,得,
当时,,在上单调增;
当时,,在上单调减.
所以的最大值.所以恒成立.
所以存在,符合题意.………………………………………16分
20.
(1)当时,,故;
当时,,
所以,
即,
又,所以,………………………………………………3分
所以,,,
故…………………………………………5分
(2)当为奇数时,,
由得,恒成立,
令,则,
所以.……………………………………………………………8分
当为偶数时,,
由得,恒成立,
所以.
又,所以实数的取值范围是.……………………………10分
(3)当时,若为奇数,则,所以.
解法1:
令等比数列的公比,则.
设,因为,
所以,
,…………………………14分
因为为正整数,
所以数列是数列中包含的无穷等比数列,
因为公比有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,
故无穷等比数列有无数个.………………………………………………16分
解法2:
设,所以公比.
因为等比数列的各项为整数,所以为整数,
取,则,故,
由得,,
而当时,,
即,…………………………………………………14分
又因为,都是正整数,所以也都是正整数,
所以数列是数列中包含的无穷等比数列,
因为公比有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,
故无穷等比数列有无数个.………………………………………………16分
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