-新课标全国卷2理科数学试题分类汇编10.数列.doc
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2011年—2018年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编
10.数列
一、选择题
(2017·3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
(2015·4)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()
A.21 B.42 C.63 D.84
(2013·3)等比数列的前项和为,已知,,则()
A. B. C. D.
(2012·5)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=8,则a1+a10=()
A.7 B.5 C.-5 D.-7
二、填空题
(2017·15)等差数列的前项和为,,,则.
(2015·16)设Sn是数列{an}的前项和,且,,则Sn=________________.
(2013·16)等差数列的前项和为,已知,,则的最小值为____.
(2012·16)数列满足,则的前60项和为.
三、解答题
(2018·17)记为等差数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)求,并求的最小值.
(2016·17)(满分12分)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.
(Ⅰ)求b1,b11,b101;(Ⅱ)求数列{bn}的前1000项和.
(2014·17)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明:
.
(2011·17)等比数列的各项均为正数,且
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前n项和.
2011年—2018年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编
10.数列(逐题解析版)
一、选择题
(2017·3)B【解析】一座7层塔共挂了381盏灯,即;相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,即,塔的顶层为;由等比前项和可知:
,解得.
(2015·4)B【解析】:
设等比数列公比为q,则a1+a1q2+a1q4=21,又因为a1=3,所以q4+q2-6=0,解得q2=2,所以a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42,故选B.
(2013·3)【答案:
C】
解析:
由S3=a2+10a1,得,a1+a2+a3=a2+10a1即,a3=9a1,亦即a1q2=9a1,解得q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=.
(2012·5).【答案:
D】解析:
,,或,成等比数列,.
二、填空题
(2017·15)【解析】∵,,∴,∵,∴∴,∵∴∴
∴,∴
(2015·16)【解析】由已知得,两边同时除以,得,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,所以.
(2013·16)-49【解析】设数列{an}的首项为a1,公差为d,则S10==10a1+45d=0①,S15==15a1+105d=25②,联立①②,得a1=-3,,所以Sn.令f(n)=nSn,则,.令f′(n)=0,得n=0或.当时,f′(n)>0,时,f′(n)<0,所以当时,f(n)取最小值,而n∈N+,则f(6)=-48,f(7)=-49,所以当n=7时,f(n)取最小值-49.
(2012·16)1830【解析】由得,
由②①得,③
由①得,.
由③得,,
所以.
三、解答题
(2018·17)解:
(1)设的公差为d,由题意得.
由得d=2.
所以的通项公式为.
(2)由
(1)得.
所以当n=4时,取得最小值,最小值为−16.
(2016·17).(满分12分)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.
(Ⅰ)求b1,b11,b101;(Ⅱ)求数列{bn}的前1000项和.
(2016·17)解析:
⑴设数列的公差为,,∴,∴,
∴.∴,,
.
⑵记的前项和为,则.
当时,;当时,;
当时,;当时,.
∴.
(2014·17).解析:
(Ⅰ)证明:
∵,∴,即:
,又,∴是以为首项,3为公比的等比数列.∴,即.
(Ⅱ)证明:
由(Ⅰ)知,∴,
∴
故:
(2011·17)解析:
(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由得所以.由条件可知a>0,故.由得,所以.故数列{an}的通项式为.
(Ⅱ ),
故,,
所以数列的前n项和为.