专题二：概率与统计.doc
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专题二：
概率与统计
专题二：
概率与统计之一：
课本回扣赵业峰
1.抽样方法主要有：
（1）简单随机抽样（抽签法、随机数表法）：
设一个总体中含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等。
（2）系统抽样：
假设要从容量为的总体中抽取容量为的样本.
①先将总体的个个体编号；
②确定分段间隔，对编号进行分段，当是整数时，取=；
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号；
④按照一定的规律抽取样本.通常是将加上间隔得到第2个个体编号，再加第3个个体编号，依次进行下去，直到获得整个样本.
（3）分层抽样：
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层抽取的个体合在一起作为样本.
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽取的机会均等
从总体中逐个抽取
总体中的个数较少
系统抽样
将总体均匀分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个数较多
分层抽样
将总体分成基层，分层进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
2.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差.
要熟悉样本频率直方图的作法：
（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图.
茎叶图：
优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，方便记录宇表示；适用数据比较少的记录.
3.回归分析
（1）常见的两变量之间的关系有两类：
函数关系与相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
（2）从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种关系称为正相关，点分布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种关系称为负相关.
（3）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.
（4）回归直线方程为，其中.
（5）这种使得样本点数据的点到它的距离的平方最小的方法称为最小二乘法.
（6）相关系数
当时，表明两个变量正相关；
当时，表明两个变量负相关；
的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常时，认为两个变量有很强的线性相关性.
4.独立性检验
（1）列联表：
假设有两个分类变量，它们的值域分别为，其样本频数列联表（称列联表）为：
总计
总计
（其中为样本容量）
（2）用的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设，若的值较大，就拒绝，即拒绝事件与无关.
（3）当时，则有95%的把握说事件与有关；
当时，则有99%的把握说事件与有关；
当时，则认为事件与无关.
5.你对随机事件之间的关系熟悉吗？
的和（并）.
（5）互斥事件（互不相容事件）：
“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥.
（6）对立事件（互逆事件）：
（7）独立事件：
A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.
6.概率的性质：
7.基本事件的两个特点：
（1）任何两个基本事件都是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件外）都可以表示成基本事件的和.
8.古典概型：
具有以下两个特点的概率模型0
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等.
古典概型概率公式：
9.几何概型：
每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例.
几何概型概率公式
命题分析：
1概率统计、
（1）主要考察抽样方法、各种统计图表、样本数字特征、茎叶图等内容，对于抽样方法，主要考查各种抽样方法的含义以及有关数据与概率的计算；对于统计图表，重点考查对频率分布直方图和茎叶图的认识和相关计算；对于样本数字特征，主要考查平均数和方差，并用这两个数字特征对平均水平以及离散程度作出评判.
（2）对于独立性检验和回归分析，一般较少考查，若考查，多数情况下是考查两种统计分析法的简单知识，以计算和判断为主.
2概率、从内容上看，随机事件的概率在高考中属必考内容，主要考查互斥事件的概率公式及对立事件概率的求法；古典概型主要考查等可能事件的概率；作为新课标的内容，对几何概型的考查在高考中已有多体现，应引起重视.从题型上看，多以填空题与选择题形式呈现，但我省近4年都出现了解答题，题目一般为容易或中等难度.从能力上看，要求学生具备一定的分析问题和解决问题的能力以及一定的读图和识图能力.
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专题二：
概率与统计之二：
规律方法指导
考点1：
随机抽样
考情分析：
本考点主要以应用题为命题背景，考查分层抽样、系统抽样的有关计算或三种抽样方法的区别，考查学生在应用问题中构造抽样模型、识别模型、收集数据等能力，是统计学中最基础的知识.本考点在高考中主要以选择题和填空题形式呈现，题目多为中低档题，重在考查抽样方法的应用.
例1、
（1）（06山东文13）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 .
（2）（11山东文13）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，
为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为．
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
（3）（09山东文19）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表（单位:
辆）:
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
（1）求z的值
（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:
9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
考点2：
用样本估计总体
考情分析：
本考点是统计学的基础.以考察频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为主，同时考查对样本估计总体的思想的理解.多以选择题和填空题考查数字特征，有时候也以解答题的形式出现，考查其与其它知识的综合，这是一个新的考试热点.难度不大.
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
例2、
（1）（08山东文9）从某项综合能力或抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为
（A）（B） （C）3（D）
（2）（10山东文6）在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如下：
90899095939493
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分值为和方差分别为
（A）92，2（B）92，2.8
0
13
14
15
16
17
18
19
秒
频率
0.02
0.04
0.06
0.18
0.34
0.36
（C）93，2（D）93，2.8
（3）（07山东文8）某班50名学生在一次百米测试中，
成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方
式分成六组：
每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；
第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，
成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述
分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒
的学生人数占全班人数的百分比为，成绩大于等于
15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方
图中可以分析出和分别为（）
A． B．
C． D．
（4）（11广东文17）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。
用xn表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72
（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s;
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。
考点3、变量的相关关系与统计案例
考情分析：
（1）对于变量的相关性：
①以考查线性回归系数为主，同时也考查利用散点图判断线性关系.②以实际生活为背景，重在考查回归方程的求法.③在高考中本部分的命题主要以选择题和填空题为主，属中档题.
（2）对于统计案例①在高考中主要考察独立性检验、回归分析，并借助一些简单的实际问题来了解一些基本的统计思想.②多以选择题和填空题的形式出现，也可能出现解答题，为中低档题.
例3、
（1）（11山东文8）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元
（2）（10全国新课标文19）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：
您
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？
说明理由。
考点4、随机事件的概率
考情分析：
本考点在高考中属必考内容，主要考查互斥事件的概率公式以及对立事件概率的求法，从考查形式上，多以选择题和填空题考查互斥事件的概率，而在解答题中主要考查相互独立事件，属中低档题.
例4、
（1）（10辽宁文13）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为
（2）（08山东18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.
（Ⅰ）求A1被选中的概率;（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率.
考点5、古典概型
考情分析：
古典概型的考查主要是等可能事件概率的求法，通常结合互斥事件和对立事件的概率来求，题型多以选择题和填空题的形式呈现，也可能与其它知识结合出现在解答题中，属中低档题.
例5、
（1）（10江苏3）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中摸出两只球，则它们颜色不同的概率是__________.
（2）（11山东文18）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
（3）（10山东文19）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为，
（Ⅰ）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率。
考点6、几何概型
考情分析：
本考点在高考中主要考察对几何概型概念的理解及其概率的求法，重在掌握常见的几种几何度量：
长度、面积.多以选择题和填空题出现，难度不大.
例6、
（1）（10全国新课标文14）设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有，可以用随机模拟方法计算由曲线及直线，，所围成部分的面积，先产生两组每组个，区间上的均匀随机数和，由此得到V个点。
再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得S的近似值为___________
（2）（10湖南文11）在区间[-1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为
专题二：
概率与统计之三：
真题分类汇编
考点1：
随机抽样
1.（11湖北文11）某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。
为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市_______家。
2.（08重庆文5）某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（）
A简单随机抽样法 B抽签法C随机数表法 D分层抽样法
3.（10北京文12）从某小学随机抽取100名同学，将
他们身高（单位：
厘米）数据绘制成频率分布直方
图（如图）。
由图中数据可知a=。
若要
从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]
三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参
加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选
取的人数应为。
4.（08广东文19）某初级中学共有学生2000名，
各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
男生
377
370
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1）求的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知，求初三年级中女生比男生多的概率.
考点2：
用样本估计总体
1.（11江苏6）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差
2.（11湖北文5）．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间内的频数为
A．18B．36C．54 D．72
3.（11江西文7）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（）
A.B.
C.D.
4.（11北京文16）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数
和方差；
（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
考点3、变量的相关关系与统计案例
1.（11江西文8）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x（cm）
174
176
176
176
178
儿子身高y（cm）
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为
A．B．C． D．
2.（11陕西文9）设···，是变量和的次方个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）
O
A．直线过点
B．和的相关系数为直线的斜率
C．和的相关系数在0到1之间
D．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
3.（11湖南文5）通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
根据所学知识，得到的正确结论是（）
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
4.（07广东文18）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据
（2）求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
（参考数值：
）
考点4：
随机事件的概率
1.（11浙江文8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是__________.
2.（10重庆文14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________.
3.（09上海文11）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示）.
4.（11四川文17）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．
（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．
考点5：
古典概型
1.（11全国新课标文6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________.
2.（11安徽文9）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于________．
3.（11湖北文13）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________.（结果用最简分数表示）
4.（11江西文16）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求此人被评为优秀的概率；
（2）求此人被评为良好及以上的概率．
考点6：
几何概型
1.（11福建文7）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于__________.
2.（11湖南文15）已知圆直线
（1）圆的圆心到直线的距离为．
（2）圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为．
3.（09辽宁文9）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）
（A） （B） （C） （D）
4.（09福建文14）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为.
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