颍上一中2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案.doc

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高二年级期末教学质量检测理科数学试卷

一、选择题:

本大题共10小题,每小题5分，共50分

1若条件，条件，则是的的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．抛物线的焦点坐标是

A．B．C．D．

3．在⊿ABC中，，，，则b=（）

A． B． C． D．

4．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则的值为 （）A．－4 B．－6 C．－8 D．－10

5．已知命题p：

x1，x2R，（f（x2）f（x1））（x2x1）≥0，则p是

A．x1，x2R，（f（x2）f（x1））（x2x1）≤0　B．x1，x2R，（f（x2）f（x1））（x2x1）≤0

C．x1，x2R，（f（x2）f（x1））（x2x1）<0D．x1，x2R，（f（x2）f（x1））（x2x1）<0

6．在Ｒ上定义运算：

．若不等式对任意实数x成立，则（）Ａ.Ｂ. Ｃ. Ｄ.

7．已知椭圆的离心率，则的值为

A．B．或C．D．或

8题图

8．如图,在正方体中，分别是的中点，则与所成角的余弦值为A．B． C． D．

9．如图，是的重心，，

9题图

则

A．B．C．D．

10．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A．B．C．3D．5

11.已知为等比数列，是它的前项和。

若，且与2的等差中项为，

则等于A.31B.32C.33D.34

12.已知、是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则A.B.C.D.

二、填空题:

本大题共4小题,每小题5分，满分20分

13．在中，若，则的形状是_____________________

14．在条件下，的最大值是

15．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则　　．

16．点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点（0，－1）的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是.

三、解答题:

本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（已知命题p：

关于x的方程有两个不相等的负根.命题q：

对任意实数都有恒成立，若为真，为假，求的取值范围．

18．如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（1）求证：

BD⊥平面PAC；

（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；

（3）求点C到平面PBD的距离.

19．双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为.

（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线：

与双曲线交于、两点，问：

当为何值时，以为直径的圆过原点；

20已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，

且恰为等比数列的前3项。

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和。

21在中，分别是角的对边，且

82615980

（1）求的面积；

（2）若，求角.

22广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

家电名称

空调机

彩电

冰箱

工时

产值/千元

4

3

2

问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？

最高产值是多少？

（以千元为单位）

已知数列的前项和为，且＝，数列中，，点在直线上．（I）求数列的通项和；

（II）设，求数列的前n项和，并求满足的最大正整数．

已知a∈R,解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0．

（1）已知，满足，求的最小值；

（2）已知0

已知数列的前项和满足：

（为常数，且）．

（1）证明：

成等比数列；

（2）设，若数列为等比数列，求的值；

（3）在满足条件

（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

17．（本小题满分14分）已知命题成立.命题有实数根.若为假命题，为假命题，求实数的取值范围。

18．（本小题满分14分）已知圆，圆。

（1）求两圆公共弦所在直线的方程；

（2）直线过点与圆相交于两点，且，求直线的方程。

19．（本题满分14分）如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，为的中点，点在上，且。

（1）求证：

平面；

（2）求证：

平面；

（3）求平面与平面所成的二面角的平面角

（锐角）的余弦值。

20．（本小题满分14分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（2）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点.当时，对任意的，试判断是否成立？

证明你的结论。

2012学年度第一学期高二年级期末教学质量检测

理科数学试题参考答案

一、选择题（10×5=50）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

A

B

C

C

D

B

D

B

二、填空题（4×5=20）

11．12．13．4（3分），2（2分）14．

三、解答题:

本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分12分）如图，一几何体的正侧视图均为等腰三角形，俯视图为正方形。

（1）说出此几何体的名称，并画出其直观图（尺寸不作严格要求）；

（2）若此几何体的体积为，求此几何体的表面积

解：

（1）此几何体为正四棱锥…………2分

它的直观图如下：

………………………………6分

（2）设此几何体的高为，则：

………………………………8分

侧面斜高：

………………………………10分

所以几何体的表面积：

…………12分

16．（本小题满分12分）直线经过两条直线和的交点，且满足下列条件，求直线的方程。

（1）平行于直线

（2）垂直于直线

解：

由…………………………3分

（1）依题意的斜率，…………………………4分

所以的方程为：

…………………………6分

即：

…………………………7分

（2）依题意的斜率：

，…………………………9分

所以的方程为：

…………………………11分

即：

…………………………12分

17．（本小题满分14分）已知命题成立.命题有实数根.若为假命题，为假命题，求实数的取值范围。

解：

即命题…………………………3分

有实数根…………………………5分

，即…………………………7分

因为为假命题，为假命题

则为真命题，所以为假命题，…………………………9分

为真命题，：

…………………………11分

由

即的取值范围是：

…………………………14分

18．（本题满分14分）已知圆，圆。

（1）求两圆公共弦所在直线的方程；

（2）直线过点与圆相交于两点，且，求直线的方程。

解：

（1）

上面两方程左右分别相减得：

①……………………3分

方程①表示直线，且两圆的交点满足此方程，故它表示两圆公共弦所在直线的方程。

…………5分

（2）圆可化为：

所以圆心，半径…………………………6分

若直线的斜率存在，设为，则的方程为：

即：

…………………………7分

圆心到的距离：

…………………………8分

，所以：

…………………………9分

解得：

…………………………10分

所以直线的方程为：

即：

…………………………11分

当直线的斜率不存在时，的方程为：

…………………………12分

此时圆心到直线的距离恰好为2，被圆截得的弦长正好为，符合题意………13分

综上可知，直线的方程为：

或…………………………14分

19．（本题满分14分）如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，为的中点，点在上，且.

（1）求证：

平面；

（2）求证：

平面；

（3）求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值。

（1）证明：

∵底面，且底面，∴……………1分

由，可得…………………2分

又，∴平面

注意到平面，∴………………………3分

为中点，∴…………………………4分

，∴平面…………………………5分

（2）取的中点，的中点，连接，

∵为中点，，∴.……………7分

∵平面平面，∴平面…8分

同理可证：

平面.

又，∴平面平面.………9分

∵平面，∴平面.…………10分

（3）

（2）方法一：

如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系.

则………11分

.………12分

设平面的法向量.

由得，

即……………

（1）

……………

（2）

取，则，.…………………………13分

取平面的法向量为

则，

故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为.……………14分

方法二：

∵.

∴与平面所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）　　　　　　　　　　　　　　　……………11分

已知，，平面

∴，∴…………12分

又，∴平面

由于平面，∴

而为与平面的交线，

又底面，平面

为二面角的平面角…………13分

根据条件可得，

在中，

在中，由余弦定理求得…………14分

故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为.…………15分

20．（本题满分14分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（2）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点.当时，对任意的，试判断是否成立？

证明你的结论。

解：

（1）如图1，设，，则由，……1分

可得，，所以，.①……2分

因为点在单位圆上运动，所以.②……3分

将①式代入②式即得所求曲线的方程为.……………4分

因为，所以

当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，…………5分

两焦点坐标分别为，；

当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为，.…6分

（2）成立。

…………7分

证明：

当时，曲线的方程为③直线的方程为：

④…………8分

联立③④解得：

…………9分

因此，点的坐标为：

直线的方程为：

即：

⑤……10分

将⑤代入③中得：

整理得：

⑥…………11分

因为是方程⑥的两个根，故

所以，…………12分

从而：

所以直线的斜率为：

……13分

又，…………14分

高二年级理科数学试卷第11页（共4页）