重庆南开中学高2017级高二下期末数学(文科).doc
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重庆市南开中学高2017级高二（下）
数学（文科）期末考试
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分.
1.集合，，则（）
A.B.C.D.
2.若命题，则为（）
A.B.C.D.
3.已知，则下列不等式一定成立的是（）
A.B.C.D.
4.某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格。
后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：
一个月内每天做题数
5
8
6
4
7
数学月考成绩
82
87
84
81
86
根据上表得到回归直线方程，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为（）
A.B.C.D.
5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）．
A.若，，则或
B.若不垂直于，则不可能垂直于内的无数条直线
C.若，且则
D.若，则
6.一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的外接球的表面积为（）
A.B.C.D.
7.已知一圆锥的母线长为，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（ ）
A.B.或C.D.
8.已知“整数对”按如下规律排成一列：
，，，，，，，，，，则第15个整数对是（）
A.B.C.D.
9.已知为等边三角形，在内随机取一点，则为钝角三角形的概率为（）
A.B.C.D.
10.已知函数在上既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为（）
A.B.C.D.
11.设抛物线的焦点为,其准线与轴交点为，过点作直线与抛物线交于点，若，则（）
A.B.C.D.
12.设直线与曲线相交于点，且曲线在点处的切线斜率都为，则（）
A.B.C.D.
二、填空题:
本题共4小题，每小题5分.
13.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________.
14.设变量满足约束条件，若目标函数其中，的最小值为，则实数__________.
15.若正数满足，则的最小值为__________.
16.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知，设命题，命题当，函数恒成立.
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若为真命题，是假命题，求的取值范围.
18．某校为了了解学生对消防知识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行消防知识竞赛．下图
（1）和图
（2）分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40,50），[50,60），[60,70），[70,80]分组，得到的频率分布直方图．
（1）请估算参加这次知识竞赛的高一年级学生成绩的众数和高二年级学生成绩的平均值；
（2）完成下面2×2列联表，并回答：
有多大的把握可以认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”？
成绩小于60分人数
成绩不小于60分人数
合计
高一
高二
合计
附：
临界值表及参考公式：
，．
19．如图所示，正四棱柱的底面边长为，，为的中点，为的中点，连结.
（1）求证：
平面；
（2）求点到平面的距离.
20.已知椭圆的长轴长为，右焦点为，且成等差数列.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点分别作直线，直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，且，求四边形面积的最小值.
21.
（1）已知，，证明：
；
（2）设，证明：
.
请考生在第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.如图，四边形是圆内接四边形，.延长到使,连结.
（1）求证：
；
（2）若，求的值.
23.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为：
（其中，），是曲线上的两个动点，且.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）求的最大值.
24.已知函数.
（1）若，解不等式：
；
（2）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.
重庆市南开中学高2017级高二（下）
数学（文科）期末考试
一、选择题：
1-6.DCCCCB7-12.DABDBD
二、填空题:
13.14.15.16.
三、解答题:
17.解：
（1）若为真：
（2）若为真:
由题为真命题，是假命题，则一真一假；
真假：
，无解；假真：
综上,或
18．解：
（1）高一年级学生竞赛成绩的众数为55分；
高二年级学生竞赛平均成绩为（45×15＋55×35＋65×35＋75×15）÷100＝60（分）．
（2）2×2列联表如下：
成绩小于60分人数
成绩不小于60分人数
合计
高一
70
30
100
高二
50
50
100
合计
120
80
200
∴K2＝≈8.333>7.879，
∴有99.5%的把握认为“学生所在的年级与消防常识的了解有关”．
19．证明：
（1）
.又
故,又,所以.
（2）由于是正三角形，所以
又由于,所以;由于,
所以，=，
故
20.解：
（1）由题，，，三式联立得，，，所以椭圆
（2）若有一个斜率不存在，则四边形面积
若斜率都存在，设，，其中，
联立与椭圆方程得
同理可得
令，则，
等号成立时，即
综上所述，四边形面积的最小值为
21.
（1）证明：
（1）令，
因为，，
当，在上为减函数;
当时，在上为增函数;
所以，即.
（2）原不等式等价于，构造函数，
只需证明就能说明，从而递增，原式得证
，所以只需证
当时上式显然成立，
当时，成立：
，故，
由
（1）上式仍成立.
请考生在第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.证明：
（1）.
又
（2）由于;
;
.
23.解：
（1）直角坐标方程为：
；
（2）设，分以下三种情况讨论：
①若在Y轴上，即，则，；
②若不在Y轴上，且，则由极坐标方程可知：
当时，等号成立；
③若不在Y轴上，且，则由极坐标方程可知：
当时，等号成立；
综上，的最大值为.
24.解：
（1）原不等式；
（2）
，
由三角不等式：
，所以即，利用零点分段法可以解得：
.
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