小学数学教材数形结合思想方法例谈.docx
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小学数学教材数形结合思想方法例谈
小学数学教材“数形结合”思想方法例谈
一、数形结合思想方法简述
数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。
数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式。
另外，数形结合思想在关于几何图形的问题中，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征，这是另一种呈现方式。
在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来，如通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，使问题简明直观，甚至使一些较难的问题迎刃而解。
应用数形结合解题，从抽象到直观，再由直观到抽象，既能培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。
对大脑的科研成果表明，人的大脑两个半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨、稳定封闭，如数的运算、逻辑推理、归纳演绎等；右半脑功能侧偏重于形象思维，讲究直觉想象、自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。
左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。
“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，既培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。
通过数形结合，有助于学生对数学知识的记忆。
数学是十分抽象的概念、公式、定理、规律等，数形结合使抽象的数学尽可能形象化，对学生输入的数学信息的映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。
如新课标人教版三年级上册比较分子相同分母不同的分数大小时，通过十分直观的图形，帮助学生理解记忆，掌握“平均分的份数越多，每一份越少”这一很抽象的数学逻辑，使学生印象深刻。
应用数形结合，还可以训练学生数学直觉思维能力。
在数学里，存在着大量的概念、定理、公式、以及典型题例等。
当学生解答问题时，通过仔细阅读条件与问题，往往通过第一直觉进行判断，这是一个什么方面的问题，需要用什么知识点进行解答，这就是所谓的直觉思维。
在数学教学中，教师通过数形结合训练学生的直觉思维，让学生养成整体观察，从整体上对数学对象（条件、问题）及其结构（数量关系）迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想、合理的假设，并作出试探性的结论。
如教学行程问题中的相遇与追及问题时，教学中通过画线段图，帮助学生理解、掌握相遇问题与追及问题的数量关系，联系与区别，从而使学生在解决这类问题时，即使不再画图，也能做到直观地判断出解决的问题是相遇问题，还是追及问题，正确的应用相应的数量关系进行解答。
应用数形结合的思想，培养学生的发散思维能力。
发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。
在数学教学中，常常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知条件与问题之间的矛盾联系，来激发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。
如教学相遇问题时，运用线段图的不同呈现方式，使学生理解两种解法。
应用数形结合思想，还有可有效地培养学生的创造性思维能力。
创造性思维能力是思维的最高境界。
当前，对学生进行综合素质和能力的培养，是培养创造性人才的需要。
只有具有创造性思维能力的人，才能在各自的领域中有所创造发明，才能推动科学技术、人类社会的不断发展。
在数学教学中，教师可通过编选一些探索性的题目，运用数形结合的思想，引导学生去研、去探讨、去发现，让他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案，而是从问题的本身进行具体的分析研究，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选中解决问题的方法。
如学习了重叠问题后，学生对两两重叠较易理解掌握，能正确解题，但三三重叠学生理解起来就很困难：
两两重叠部分要减去，为什么三三重叠部分要加上呢？
在这里，教师用单纯的语言文字是不能说清楚的，只有通过让学生画图，理解三三重叠部分在前面的加减中一次也没有计算，还需要加上去。
二、数形结合思想方法在教材中的渗透
1、数形结合帮助学生建立起数学基本概念，形成整个数学知识体系。
数学是思维的阶梯。
纵观整个小学数学教材，从一年级到六年级，无不充分体现数与形的有机结合，帮助学生从直观到抽象，逐步建立起整个数学知识体系，培养学生的思维能力。
在一年级上册中，学生刚学习数学知识时，教材首先就是通过数与物（形）的对应关系，初步建立起数的基本概念，认识数，学习数的加减法；通过具体的物（形）帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼，在培养学生初步的空间观念的同时，也初步培养学生的数形结合的思想，帮助学生把数与形联系起来，数形有机结合。
在以后年级的学习中，随着学生年龄的增长，思维能力的不断提高，数与形的结合就更加广泛与深入。
在二年级上册学习乘法与除法的意义时，通过数与物（形的）对应结合，帮助学生理解掌握乘法与除法的意义，并抽象地运用于整个数学学习中。
在三年级上册分数的初步认识中，通过具体的形的操作与实践，让学生充分理解“平均分”，几分之一，几分之几等数学概念，掌握运用分数大小的比较，分数的意义，分数的加减等，使数形紧密地结合在一起，把抽象的数学概念直观地呈现在学生面前，帮助学生理解掌握分数的知识。
在四年级下册小数的意义的学习中，小数是一个十分抽象的概念，它与分数相比更加抽象。
我们同样是通过数与形的结合，帮助学生理解掌握小数的意义、小数的大小、小数的性质。
通过1米=10分米，让学生理解1分米=0.1米，并类推出1厘米=0.01米，1毫米=0.001米；通过数与形完美的结合——数轴，让学生理解小数的组成、小数大小的比较、小数与整数的关系等。
总之，一句话，数形结合贯穿着整个数学领域，在帮助学生建立初步的数学概念，培养学生基本数学思维能力中起着十分重要，而且不可替代的作用。
2、数形结合贯穿着整个数学知识的应用（解决问题）的教学。
在一年级下册刚接触比多比少应用题教学时，通过数与物（形）的对应关系，帮助学习建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念，从而理解掌握比多比少用大的数减去小的数，求大的数用小的数加上多的部分（或少的部分），求小的数用大的数减去少的部分（或多的部分）。
有的学生在刚学习比多比少应用题时，未能很好的建立起数与形的有机结合，未充分理解掌握比多比少的基本数量关系，而是机械地记忆“多”字用加法，“少”字用减法。
这样的学生我们在教学中发现的还不在少数。
在二年级上册进行倍数应用题的学习时，教材首先是通过数与物（形）的结合，帮助学习初步建立起倍数的意义，即求一个数的几倍，就是求几个这样的数是多少。
在学生初步建立起倍数的概念（意义）的基础上，逐步过渡到数与形结合，即画线段图，帮助学习理解掌握倍数的意义。
在这里，教材从最初的最直观的数物（形）结合，逐步过渡到由图形代替物体——数形结合，初步建立起数学语言——数与形，使学生逐步从最直接的感知发展到较为抽象的数学知识，初步建立起今后数学学习的基本途径与方法，与数学思想——数形结合。
在相遇问题、追及问题、和差问题、和倍问题、工程问题、分数应用题、比例应用题、列方程解应用题等许多解决问题的教学中，无不充分地运用数形结合，把抽象的数量关系，通过画线段图、集合图、长方形面积图、列表格等方式，数形结合，呈现为较为具体直观的数学符号，使较复杂的数量关系简单明了，有利于分析题中数量之间的关系，丰富学生表象，引发联想，启发思维，拓宽思路，化繁为简，化难为易，迅速找出解决问题的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
在解决鸡兔同笼问题，即采用假设法解题时，运用数形结合，可以使极为抽象的假设法变得直观形象。
如：
有一只笼子，笼子中有鸡也有兔，鸡和兔共有5只，腿有14条。
你们知道鸡有几只，兔有几只吗？
题中有两个变量：
鸡和兔，鸡的只数增多，兔的只数就要减少，反之鸡少了兔就多了，但它们的总的只数和腿的条数是不变的。
教学中，让学生理解鸡与兔是两个变量十分困难，教师单纯用语言是无法让学生很好的理解的。
采用数形结合，让学生通过想想——画画——再想想——再画画，帮助学生理解这鸡兔这两个变量，从而解决问题。
3、数形结合帮助小学生建立起初步的几何知识体系，发展空间观念，为今后的数学学习打下坚实的基础。
在一年级下册图形的组拼中，通过数图形，如，让学生不断地把玩方积木，用多少不等或相等的积木不断堆砌不同的形状，体验数与形的结合，感知空间图形，进而抽象出一排有几个，有几排，有几层等空间观念，为长方形的面积公式推导、长方体的体积公式推导等奠定基础。
在三年级下册长方形面积公式推导中，通过让学生用1平方厘米的小正方形摆放长方形面积，摆出长有几厘米就能摆几个，宽有几厘米就能摆几排，抽象出长方形的面积就是长与宽的乘积。
在长方体体积公式推导中，也同样运用数与形的有机结合，通过学生用1立方厘米的小正方体摆放长方体的体积，得出长是几厘米就是一排摆几个，宽有几厘米就能摆几排，高有几厘米就是能摆放几层，进而逐步抽象概括出长方体的体积=长×宽×高。
4、数形结合帮助学生建立起初步的分类与集合的思想。
在四年级下册三角形按角分类中，运用集合图，数形结合，让学生充分理解锐角三角形、直角三角形、钝角三角形这三类三角形之间的关系。
同样，在四年级上册四边形的分类中，也是运用数形结合的集合图，帮助学生理解各种四边形之间的联系与区别。
四边形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
平行四边形 梯形
长方形
正方形
5、运用数形结合，帮助学生理解较抽象的数学、数量关系，培养学生逻辑思维能力。
在现行人教版课标本数学教材中，引入了大量的以前认为是奥数的，但在现实生活中却经常应用的数学内容，如三年级下册重叠问题（P108例1）、四年级上册策略问题（P112例1、P113例2、P115例3）、四年级下册植树问题（P117例1、P118例2）、二年级上册（P99例1）与三年级上册排列组合（P112例1、P113例2、P114例3）、一年级下册、二年级下册、五年级上下册找规律等。
在教学中，如果不采用数形结合，把抽象的数学概念形象直观化，学生根本不能理解掌握运用。
如三年级下册重叠问题（P108例1：
三
（1）班参加语文、数学课外小组学生名单。
语文组：
杨明、李芳、刘红、陈东、王爱华、张伟、丁旭、赵军；数学组：
杨明、李芳、刘红、王志明、于丽、周晓、陶伟、卢强、朱小东。
参加课外小组的学生有多少人），教学中，引导学生数出参加语文组的有8人，参加数学组有有9人，但这两个小组没有8+9=17人，这是为什么呢？
引导学生通过画出韦恩集合图，让学生充分明白：
有3个重复的，8+9多计算了一次，需要减去，两个小组实际只有8+9－3=14（人）。
在植树问题中（P117例1：
同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。
一共需要多少棵树苗？
），只有通过画图，让学生充分理解植树棵数与间隔数的关系，才能帮助学生理解两端要植：
棵数=间隔数+1，两端不植：
棵数=间隔数－1，一端植：
棵数=间隔数。
二年级上册（P99例1）与三年级上册（P112例1、P113例2、P114例3）排列组合中，如果用高中数学中什么是排列、什么是组合来教学生，学生只能是“坐飞机”，云里雾里，不知所云，而采用数形结合——连线的方法，既做到不重不漏，又不把排列组合的知识强加给学生，还让学生运用起来得心应手。
在策略问题中，运用数形结合，画图形操作，让繁琐的语言叙述直观化，简单明了，化难为易。
在找规律教学中，通过画图操作，逐步发现规律，并运用规律解决问题。
以上等等，都是通过数与形的有机结合，使以前认为普通学生学习起来较难理解与掌握的奥数知识，变得形象直观，学生人人都能掌握运用了。
三、教学示例
在小学数学中，数形结合的思想运用十分广泛，以下试举数例，通过由易到难，以期能达到举一反三的目的。
示例一：
8个☆分成两堆，有几种分法？
（一年级上册P55 8的认识 ）
教学建议：
通过让学生摆放8个☆分成两堆的不同放法，理解8的分解与组成，并逐步理解掌握8的加法与减法。
8 8 8 8
7 1 6 2 5 3 4 4
7+1=8 6+2=8 5+3=8 4+4=8 8－7=1 8－6=2……
示例二：
比较○、○的大小。
（三年级上册P93例3）
教学建议：
通过引导学生用图形画出、，并理解它们的意义，比较出>；接着让学生画出与，并理解它们的意义，比较出∠。
如下图所示：
> ∠
最后，再引导学生想明算理：
同一个物体，平均分的份数越多，每一份越小；反之，平均分的份数越少，每份越大。
归纳规律，得出分子相同的分数比较大小，分母大的分数小，分母小的分数大。
示例三：
在直线上表示下面各数，并比较大小。
（四年级下册P644题）
0.12○0.28 0.25○0.16 0.4○0.04
─└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└└
0 0.1 0.2 0.3 0.4
教学建议：
通过让学生在数轴上表示数，进一步理解小数的组成、大小，并掌握小数大小比较的方法。
示例四：
第一行摆●●，第二行摆第一行的4倍。
第二行摆几个？
（二年级上册P76例3）
教学建议：
在二年级学生刚接触倍数问题时，关键是要通过数物结合、数形结合，帮助学生通过直观的实物、图形（线段图），牢固建立倍数问题的数量关系。
首先通过实物演示，让学生理解倍数的意义：
第二行是第一行的的4倍，就是求4个2是多少？
小红：
●●
小刚：
●● ●● ●● ●●
接着，通过画线段图，帮助学生树立初步的数形结合思想，即用图形代表数，反应数与数的关系。
2个圆圈
第一行：
是第一行的4倍，？
个
第二行：
示例五：
8和12的公因数有哪些？
最大的公因数是几？
（五年级下册P27例4）
教学建议：
首先，让学生采用常规写法写出8和12的因数，并找出公因数和最大公因数。
8的因数有：
1、2、4、8
12的因数有：
1、2、3、4、6、12
由于找起来较麻烦，引导学生把它们改为数形结合的集合图形式。
8的因数 12的因数
1 2 3 6
8 4 12
8和12的公因数
最后，引导学生观察：
两个数的最大公因数就是它们其余公因数的乘积。
再引导学生理解用短除法求两个数的最大公因数较为方便。
（短除法略）
示例六：
某厂去年生产白糖700吨，今年比去年多生产，今年生产白糖多少吨？
（六年级上册分数应用题）
教学建议：
根据题意，画线段图为：
“1”
去年：
700吨
1+
今年：
？
吨
这样，学生理解起来觉得很形象直观，一下子就能找到解答的方法。
示例七：
某班有学生56人，参加作文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，两科竞赛都没有参加的有25人，那么同时参加作文、数学竞赛的学生有多少人？
（三年级下册较复杂的重叠问题）
教学建议：
在重叠问题中，条件的叙述象绕口令一样，纠缠难懂，学生单纯靠抽象的语言的确难理解，利用集合图表达各部分的关系就容易得多了。
全班56人
25人
作文 数学
28人 27人
同时参加作文、数学竞赛的人数
学生通过对图的分析、理解，很快就能列出多种解法。
解法一：
56－25=31（人） 28+27－31=24（人）
解法二：
28+27+25－56=24（人）
示例八：
小红有两件上衣，三件下装，她一共有几种不同的穿法？
（三年级上册P112例1）
教学建议：
题意画图为：
T恤衫 牛仔衣
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
裙子 牛仔裤 西裤
示例九：
2002年世界杯足球赛C组有巴西队、土耳其队、中国队和哥斯达黎加队。
每两个队踢一场比赛，一共要踢多少场比赛？
（三年级上册P114例3）
按题意画图为：
巴西 ① 土耳其
④ ⑥ ⑤ ②
中国 ③ 哥斯达
黎加
① ② ③
或：
巴西 土耳其 中国 哥斯达黎加
④ ⑤ ⑥
在排列组合题中，排列与顺序无法，组合与顺序有关，但对于三年级学生用这样抽象的语言教学，不可能有一点效果。
而采用直观的画图连线就十分清楚明白了。
示例十：
五一班同学分三次给敬老院送温暖。
第一次送了10千克大米、10千克面粉、10千克食油，合人民币140元；第二次送了20千克大米、15千克面粉、10千克食油，合人民币180元；第三次送了25千克大米、20千克面粉、10千克食油，合人民币205元。
求大米、面粉和食油每千克各多少元？
教学建议：
本题条件太多，学生读后可能头都晕了。
把条件用表格的形式排列出来，引导学生对照、比较、分析，就不难求解了。
大米
面粉
食油
人民币
第一次
10
10
10
140
第二次
20
15
10
180
第三次
25
20
10
205
通过观察比较，第二次与第一次相比较：
多送大米10千克，面粉5千克，多付钱180－140=40（元）；第三次与第二次相比较：
多送大米5千克，面粉5千克，多付钱205－180=25（元）。
又列表如下：
多送大米
多送面粉
多付钱
第二次与第一次比较
10
5
40
第三次与第二次比较
5
5
25
现在学生很容易看出：
面粉的数量不变，多送了千克大米，就多付了钱40－25=15（元），可求出大米每千克：
15÷5=3（元），进而求出面粉每千克：
（40－3×10）÷5=2（元），食油每千克：
（140－3×10－2×10）÷10=9（元）。
像这样数据较多的问题，采用列表的方法，易于揭示数量之间的关系，使思路清晰，采用最优化方法解题。
综上示例，不难看出，采用数形结合思想方法解题，关键是要让数形有机结合，把抽象的数学问题形象化、直观化，从而化繁为简，化难为易。
四、教学中应注意的问题
一、在教学中，必须要把数与形有机地结合起来，既不能脱离形来谈数，又不能丢开数谈形。
形是数的直观呈现，数是形的逻辑表达。
数与形是辩证统一的。
只有这样，才能把学生的形象思维与逻辑思维有机地结合起来，做到数中有形，形中有数，培养学生的辩证思维能力。
二、在低段数学教学中，一定要把握好由形象直观——抽象概括的“度”。
教学中一定要从直观的实物呈现，逐步抽象概括出数理、算理知识，并逐步过渡到由“实物呈现”转变为由“形代替实物”的“形呈现”，从而实现思维的质的飞跃。
三、在数学教学活动中，要通过数与形的结合，有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，培养学生多向思维的好习惯。
四、在数学教学中，还要重点培养学生理解掌握数形结合的表现形式，即通过对题目的阅读理解，用正确的方式画图表达出题意，从而实现把题目的抽象叙述变为直观呈现，化繁为简，化难为易的目的。
总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更用于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。
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