小学四五年级勾股定理练习题.docx
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小学四五年级勾股定理练习题
在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。
选中以下空白地方查看答案：
（1）D
（2）C（3）B（4）D（5）C
几何勾股定理与弦图练习4
选中以下空白地方查看答案：
（1）B
（2）D（3）C（4）B（5）D
几何勾股定理与弦图练习5
判断题
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角．
⑵命题：
“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半．”的逆命题是真命题．
⑶勾股定理的逆定理是：
如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
⑷△ABC的三边之比是1：
1：
，则△ABC是直角三角形．
答案：
对，错，错，对；
△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形．
B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形．
D．如果∠A：
∠B：
∠C=5：
2：
3，则△ABC是直角三角形．
答案：
D
1、下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a=，b=，c= D．a：
b：
c=2：
3：
4
答案：
D
2、已知：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？
并指出那一个角是直角？
⑴a=，b=，c=； ⑵a=5，b=7，c=9；
⑶a=2，b=，c=； ⑷a=5，b=，c=1．
答案：
⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A．
叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确．
⑴如果a3＞0，那么a2＞0；
⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；
⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；
⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等．
答案：
⑴如果a2＞0，那么a3＞0；假命题．
⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题．
⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题．
⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题．
1、填空题．
⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 ．
⑵“两直线平行，内错角相等．”的逆定理是 ．
⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是 三角形， 是直角；若a2＜b2－c2，则∠B是 ．
⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是 三角形．
答案：
⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，∠B，钝角；⑷直角．
⑸小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地．小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 ．
答案：
向正南或正北．
2、若三角形的三边是 ⑴1、、2； ⑵； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41； ⑸（m+n）2－1，2（m+n），（m+n）2+1；则构成的是直角三角形的有（ ）
A．2个 B．3个 Ｃ．4个 Ｄ．5个
答案：
B
8．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形； B．直角三角形； C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形．
答案：
C
1．如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案：
C
说明：
①若a为斜边长，则由勾股定理有22+42=a2，可得a=2；②若a为直角边长，则由勾股定理有22+a2=42，可得a=2，所以a的取值可以有2个，答案为C．
2．小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为（ ）米
A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0
答案：
A
说明：
因为墙与地面的夹角可看作是直角，所以利用勾股定理，可得出梯脚与墙脚的距离为===0.7，答案为A．
3．一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
答案：
C
说明：
设直角边长为x，则斜边为x+2，由勾股定理得x2+62=（x+2）2，解之得x=8，所以斜边长为8+2=10，答案为C．
选择题（12×3′=36′）
1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（ ）
A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25
C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5
3．若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（ ）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
4．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（ ）
A、121 B、120 C、132 D、不能确定
5．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169
6．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、n2+1
7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2
8．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A、56 B、48 C、40 D、32
9．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（ ）
A.等边三角形; B.钝角三角形; C.直角三角形; D.锐角三角形.
10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A、450a元 B、225a元 C、150a元 D、300a元
1．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、2cm2
2．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。
2．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
3．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。
4．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为（ ）cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
5．已知：
如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（ ）cm
1．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
2．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。
1.小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？
2．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
1.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
2.已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
1．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5,BD=2.5,求AC的长.
2．如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b.利用这个图试说明勾股定理?
3．已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC是等腰三角形。
4．如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：
AB2－AP2=PB×PC。
如图16-2，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?
有四边形EFGH的面积为△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD的面积和，即为30+30+5=65平方厘米．
如图12，正方形的边长为10cm，AB=2cm，CD=3cm，求阴影部分的面积。
解答：
平行两条线，做平行线。
可知外侧形成四个旋转地小长方形，除去中间的长方形后阴影部分等分。
所以（10×10-2×3）÷2+2×3=53（平方厘米）
关于完全平方数（已增升级题）
（一）完全平方数的性质
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质1：
完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：
奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：
如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：
如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：
如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：
偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：
奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6：
平方数的形式必为下列两种之一：
3k,3k+1。
性质7：
不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：
平方数的形式具有下列形式之一：
16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。
例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。
如果再把13的各位数字相加：
1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。
下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。
我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
关于完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：
完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
性质10：
a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
性质11：
如果质数p能整除a，但p^2不能整除a，则a不是完全平方数。
性质12：
在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若
n^2 性质13：
一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子（包括1和n本身）。
（二）重要结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
（三）范例
[例1]：
一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：
设此自然数为x，依题意可得
x-45=m^2................
（1）
x+44=n^2................
（2）（m,n为自然数）
（2）-
（1）可得 n^2-m^2=89,（n+m）（n-m）=89
但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。
解之，得n=45。
代入
（2）得。
故所求的自然数是1981。
[例2]：
求证：
四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方（1954年基辅数学竞赛题）。
分析 设四个连续的整数为n,（n+1）,（n+2）,（n+3），其中n为整数。
欲证
n（n+1）（n+2）（n+3）+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明 设这四个整数之积加上1为m，则
m=n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n^2+3n+1）^2=[n（n+1）+（2n+1）]^2
而n（n+1）是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n（n+1）+2n+1是奇数。
这就证明了m是一个奇数的平方。
[例3]：
求证：
11,111,1111,......,111...1（n个1）这串数中没有完全平方数（1972年基辅数学竞赛题）。
分析 形如111...1（n个1）的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即
111...1（n个1）=（10a+1）^2 或 111...1（n个1）=（10a+9）^2
在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明 若111...1（n个1）=（10a+1）^2=100a^2+20a+1，则
111...10=100a^2+20a,111...1（n-1个1）=10a^2+2a
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
若111...1（n个1）=（10a+9）^2，同理。
综上所述，不可能是完全平方数。
另证 由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。
但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。
[例4]：
试证数列49,4489,444889,......444...4888...89（n个4，n-1个8）的每一项都是完全平方数。
证明（略）
[例5]：
用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
解：
设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600
3?
600 ∴3?
A
此数有3的因子，故9?
A。
但9?
600，∴矛盾。
故不可能有完全平方数。
[例6]：
试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同（1999小学数学世界邀请赛试题）。
解：
设此数为aabb，则：
aabb=a0b*11
此数为完全平方，则必须是11的倍数。
因此11?
a+b，而a,b为0,1,2,9，故共有（2,9）,（3,8）,（4,7）,（9,2）等8组可能。
直接验算，可知此数为7744=88。
[例7]：
求满足下列条件的所有自然数：
（1）它是四位数。
（2）被22除余数为5。
（3）它是完全平方数。
解：
设22n+5=N^2，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
N^2-16=11（2n-1）,（N+4）（N-4）=11（2n-1）
11?
N-4或11?
N+4
N=（2k-1）*11+4,N=22k-5或N=22k-15（k=1,2,......）
经试数可知，此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025。
[例8]：
甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：
先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。
为了平均分配，甲应该补给乙多少元（第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）？
解：
n头羊的总价为n^2元，由题意知n^2元中含有奇数个10元，即完全平方数n^2的十位数字是奇数。
如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。
所以，n^2的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。
[例9]：
矩形四边的长度都是小于10的整数（单位：
公分），这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积（1986年缙云杯初二数学竞赛题）。
解：
设矩形的边长为x,y，则四位数
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y）=11（99x+x+y）
∵N是完全平方数，11为质数 ∴x+y能被11整除。
又由分析可得x+y=11。
∴N=11^2*（9x+1）∴9x+1是一个完全平方数，验算知x=7满足条件。
又由x+y=11得y=4。
∴S=xy=28cm^2.
（四）讨论题
1.（1986年第27届IMO试题）
设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a,b，使得ab-1不是完全平方数。
2.求k的最大值，使得3^7可以表示为k个连续正整数之和.
1、已知数x= 50，则（ ）。
A、x是完全平方数 B、（x-50）是完全平方数
C、（x-25）是完全平方数 D、（x+50）是完全平方数
2、在十进制中，各位数字全由奇数组成的完全平方数共有（ ）个。
A、0 B、2 C、超过2，但有限
3、试证数列49,4489,444889,的每一项都是完全平方数。
4、用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
5、试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同（1999小学数学世界邀请赛试题）。
3、试证数列49,4489,444889,的每一项都是完全平方数。
证明
=
=++1
=4+8+1
=4（）（9+1）+8+1
=36（）+12+1
=（6+1）
即为完全平方数。
4、用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
解：
设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600
3｜600∴3｜A
此数有3的因数，故9｜A。
但9｜600，∴矛盾。
故不可能有完全平方数。
5、试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同（1999小学数学世界邀请赛试题）。
解：
设此数为
此数为完全平方，则必须是11的倍数。
因此11｜a+b，而a,b为0,1,2,9，故共有（2,9）,（3,8）,（4,7）,（9,2）等8组可能。
直接验算，可知此数为7744=88。
1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
2、求证：
四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方（1954年基辅数学竞赛题）。
3、求证：
11,111,1111,这串数中没有完全平方数（1972年基辅数学竞赛题）。
4、求满足下列条件的所有自然数：
（1）它是四位数。
（2）被22除余数为5。
（3）它是完全平方数。
5、甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：
先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。
为了平均分配，甲应该补给乙多少元（第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）？
1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：
设此自然数为x，依题意可得
x-45=m^2;
（1）
x+44=n^2
（2）
（m,n为自然数）
（2）-
（1）可得:
n^2-m^2=89或：
（n-m）（n+m）=89
因为n+m>n-m
又因为89为质数，
所以：
n+m=89;n-m=1
解之，得n=45。
代入
（2）得。
故所求的自然数是1981。
2、求证：
四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方（1954年基辅数学竞赛题）。
分析设四个连续的整数为，其中n为整数。
欲证
是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明设这四个整数之积加上1为m，则
m为平方数
而n（n+1）是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n（n+1）+2n+1是奇数。
这就证明了m是一个奇数的平方。
3、求证：
11,111,1111,这串数中没有完全平方数（1972年基辅数学竞赛题）。
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