（3）直线bi=kix+bi与直线y2=k2x+b2（kiW0,kZw0）的位置关系.
①kiwk2yi与y2相交；
yi与y2平行;
yi与y2重合.
yi与y2相交于y轴上同一点（0,b）或（0,b2）；
4b2
kik2
④i2
Wb2
例题精讲:
1、直线y=-2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB
（1）求AC的解析式;
（2）在OA的延长线上任取一点P,作PQLBP,交直线AC于Q,试探究BP与PQ的数量关系，并证明你的结论。
（3）在
（2）的前提下，作PMLAC于M,BP交AC于N,下面两个结论：
①（MQ+AC）/PM的值不变；②（MQ-AC）/PM的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。
2.（本题满分12分）如图①所示，直线L：
ymx5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于
A、B两点。
（1）当OA=OB寸，试确定直线L的解析式;
作AM!
OQTMBNI±OQTN,若AM=4BN=3,求MN的长。
（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OBAB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OB环口等腰直角△ABE连EF交y轴于P点，如图③。
问：
当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。
第2题图③
考点：
一次函数综合题；直角三角形全等的判定.
专题：
代数几何综合题.
分析：
（1）是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度;
（2）由OA=OB得到启发，证明，△AMO^AONB,用对应线段相等求长度;
（3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长.
解答：
解：
（1）•「直线L：
y=mx+5m,
A（-5,0）,B（0,5m）,
由OA=OB得5m=5,m=1,
，直线解析式为：
y=x+5.
（2）在AAMO和^OBN中OA=OB,/OAM=/BON,/AMO=/BNO,
・.△AMO^AONB.
AM=ON=4,BN=OM=3.
（3）如图，作EK±y轴于K点.
先证△ABOBEK,
OA=BK,EK=OB.再证△PBF^APKE,
PK=PB.
PB=-BK=-OA=5.222
点评：
本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂
直关系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际应用问题.
3、如图，直线与x轴、y轴分别交于AB两点，直线％与直线h关于x
轴对称，已知直线l1的解析式为yx3
（1）求直线12的解析式；（3分）
（3）4ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P,过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q,与y轴相交与点M,且B之CQ在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值。
在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。
（6分）
y
考点：
轴对称的性质；全等三角形的判定与性质.
分析：
（1）根据题意先求直线11与x轴、y轴的交点A、B
的坐标，再根据轴对称的性质求直线12的上点C的坐标，用
待定系数法求直线12的解析式；
（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA^AAFC,再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF;
（3）首先过Q点作QH^y轴于H,证明△QCH^APBO,
然后根据全等三角形的性质和^QHMPOM,从而得HM=OM,根据线段的和差进行计算
OM的值.
解答：
解：
（1）二•直线11与x轴、y轴分别交于A、B两点,
・•A（-3,0）,B（0,3）,;直线12与直线11关于X轴对称，.•.C（0,-3）
「•直线12的解析式为：
y=-x-3;
（2）如图1.
答：
BE+CF=EF.
;直线12与直线11关于x轴对称，AB=BC,/EBA=/FAC,
.BE±13,CFX13
・./BEA=/AFC=90
・.△BEA^AAFC
BE=AF,EA=FC,BE+CF=AF+EA=EF;（3）①对，OM=3
过Q点作QH，y轴于H,直线12与直线1i关于x轴对称
•••/POB=/QHC=90
BP=CQ
又AB=AC,
/ABO=/ACB=/HCQ,
则△QCH0^PBO（AAS）,
QH=PO=OB=CH
・.△QHMPOM
HM=OM
OM=BC-（OB+CM）=BC-（CH+CM）=BC-OM
OM=1BC=3.
2
点评：
轴对称的性质：
对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被
对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相
（1）求直线AB的解析式;
（2）若点M为直线y=mx上一点，且^ABhM以AB为底的等腰直角三角形，求m值;
⑶过A点的直线产=履-24交y轴于负半轴于P,N点的横坐标为-1,过N点的直线
kkPM-PN
——-
2交APT点M试证明且"的值为定值.
考点：
一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数
法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.
专题：
计算题.
分析：
（1）求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得到方
程组，求出即可;
（2）当BM，BA,且BM=BA时，过M作MN，丫轴于N,证^BMNABO（AAS）,求
出M的坐标即可；②当AM±BA,且AM=BA时，过M作MNXX轴于N,同法求出M的坐
标；③当AM±BM,且AM=BM时，过M作MN，X轴于N,MH±Y轴于H,证^BHM9△AMN,求出M的坐标即可.
（3）设NM与x轴的交点为H,分别过M、H作x轴的垂线垂足为G,HD交MP于D点,求出H、G的坐标，证^AMGADH,△AMGADHDPCNPC,推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案.
解答：
解：
（1）要使b=9一3-4=0有意义,必须（a-2）2=0,v/b-4=0,
a=2,b=4,
••A（2,0）,B（0,4）,
设直线AB的解析式是y=kx+b,
代入得：
0=2k+b,4=b,
解得：
k=-2,b=4,
，函数解析式为：
y=-2x+4,
答：
直线AB的解析式是y=-2x+4.
（2）如图2,分三种情况：
①如图
（1）当BM，BA,且BM=BA时，过M作MN，Y轴于N,
△BMN^AABO（AAS）,
MN=OB=4,BN=OA=2,
ON=2+4=6,
M的坐标为（4,6）,
代入y=mx得：
m=—,
2
②如图
（2）当AM±BA,且AM=BA时，过M作MN^X轴于N,ABOA^AANM（AAS）,
同理求出M的坐标为（6,2）,m=1,
3
③当AMLBM,且AM=BM时，过M作MNLX轴于N,MH±Y轴于H,则4BHMAMN,MN=MH,
设M（x,x）代入y=mx得：
x=mx,
（2）
m=1,
答：
m的值是3或1或1.
23
（3）解：
如图3,结论2是正确的且定值为2,
设NM与x轴的交点为H,分别过M、H作x轴的垂线垂足为G,HD交MP于D点,
由y=kx-k与x轴交于H点，
22
・•・H（1,0）,
由y=kx-k与y=kx-2k交于M点,
22
•••M（3,K）,
而A（2,0）,
・•.A为HG的中点，
AMG^AADH（ASA）,
又因为N点的横坐标为-1,且在y=Kx-k上，
22
「•可得N的纵坐标为-K,同理P的纵坐标为-2K,・•・ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1・•.N与D关于y轴对称，
•••△AMGADHDPCNPC,
PN=PD=AD=AM,
PM-PN
=2.
AM
求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.
5.如图，直线AB：
y=-x-b分别与x、y轴交于A（6,过点B的直线交x轴负半轴于C,且OBOC3：
1。
（1）求直线BC的解析式：
（2）直线EF:
y=kx-k（kw0）交AB于E,交BC于点F,交x轴于D,是否存在这样的直线EF,使得S^ebfS^fbd?
若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？
（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ连接QA并延长交y轴于点K,当P点运动时，K点的位置是否发现变化？
若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。
考点：
一次函数综合题；一次函数的定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析
专题：
计算题.
分析：
代入点的坐标求出解析式y=3x+6,利用坐标相等求出k的值，用三角形全等的相等关
系求出点的坐标.
解答：
解：
（1）由已知：
0=-6-b,
b=-6,
1.AB:
y=-x+6.
-B（0,6）
OB=6
OC=OB=2,
3
••C（20）
设BC的解析式是Y=ax+c，代入得；6=0?
a+c,0=-2a+c,
解得：
a=3,c=6,
BC:
y=3x+6.
直线BC的解析式是：
y=3x+6;
（2）过E、F分别作EM^x轴，FN^x轴，则/EMD=/FND=90
--SaEBD=SAFBD,
DE=DF.
又・./NDF=/EDM,
・.△NFD^AEDM,
FN=ME.
联立y=kx-k,y=-x+6
5k
信yE=,
k1
联立y=kx-k,y=3x+6
/曰9k
得yF二
k-3
FN=-yf,ME=ye,
5k=-9k
k1k-3
•••5（k-3）=-9（k+1）
..k=3;
7
（3）不变化K（0,-6）.过Q作QH，x轴于H,•・•△BPQ是等腰直角三角形,
/BPQ=90,PB=PQ,
•••/BOA=/QHA=90,/BPO=/PQH,
•.△BOP^AHPQ,PH=BO,OP=QH,PH+PO=BO+QH,即OA+AH=BO+QH,又OA=OB,
AH=QH,
.AHQ是等腰直角三角形,/QAH=45,
••.ZOAK=45,
..△AOK为等腰直角三角形,OK=OA=6,K（0,-6）.
点评：
此题是一个综合运用的题，关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解.
6.如图，直线AB交X轴负半轴于B（m,0）,交Y轴负半轴于A（0,mj）,OCLAB于C（-2,-2）。
（1）求m的值;
过G彳^OB的垂线，垂足为G
OBOA
AOB为等腰直角三角形
CBO45
CGB,CGO,OCB都是等腰直角三角形
GBOGCG2
m-4
（2）直线AD交OCTD,交X轴于E,过B作BF,A
HBOFAH（同角的余角相等）
OEOD
OEDODE
FEBOED,ADCODE（对顶角相等）
ADCFEB
HBOCAD
CADFAH
在AFB和AFH中
AFBAFH90
AFAF（公共边）
BAFFAH（E证）
AFBAFH（ASA）
BFHF（全等三角形对应边相等）
在BOH和AOE中，
HBOEAO（已证）
BOAO（已知）
BOHAOE90
BOHAOE（ASA）
BHAE（全等三角形对应边相等）
BHBFBH2BF
BFBFBF1
AEBH2BF2
⑶如图，P为x轴上B点左侧任一点，以AP为边作等腰直角^APM其中PA=PM直线M皎y轴于Q,当P在x轴上运动时，线段OQfe是否发生变化？
若不变，求其值；若变化，说明理由。
解।0Q的长不发生变化
过P作PN垂直于笈轴交AB于N.垂足为P
AAPM为等腰直角三角形，
..PM=PA,1通A=号
又一.七AOB为等腰直角三角形，
ZALC=4511
Z1TBP=/矣。
=45%时顶角相等）
ANPR是等腰直角三角形
：
.PN=PE
ZNPA=
二90°十/5F工二月十QBPA
=4PB
在&NTA?
口ABPM中.
PN=己证）
AP=MP（己知）
L一
AHPA兰ABPM（SAS）
-JPNAZPBM=45°
又vZABO=45°
..ZABM=1800-ZOBA-ZPSM
=lS0o-45o-45a=M0
MB±AB
丁过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
直线MP喳一
■rZQBO=450
..AOBQ为等腰直角三角形
..0Q=0B=4
与y轴交于点C,与直线y=kx交于点P,且PO=PA
（1）求a+b的值;
（2）求k的值；
（3）D为PC上一点，DF，x轴于点F,交OPT点E,若DE=2EF,求D点坐标.
考点：
一次函数与二元一次方程（组）.
专题：
计算题；数形结合；待定系数法.
分析：
（1）根据题意知，一次函数y=ax+b的图象过点B（-1,
5）和点A（4,0）,把A、
2
B代入求值即可;
（2）设P（x,y）,根据PO=PA,列出方程，并与y=kx组成方程组，解方程组;
（3）设点D（x,-—x+2）,因为点E在直线y=—x上，所以E（x,—x）,F（x,0）,
222
再根据等量关系DE=2EF列方程求解.
解答：
解：
（1）根据题意得：
=-a+b
2
0=4a+b
解方程组得：
a=1,b=2
2
a+b=-—+2=3,即a+b=—;
222
（2）设P（x,y）,则点P即在一次函数y=ax+b上，又在直线y=kx上,
由
（1）得：
一次函数y=ax+b的解析式是y=-—x+2,
2
又「PO=PA,
x2+y2=（4-x）2+y2
y=kx
y=1x+2,
2
解方程组得：
x=2,y=1,k=1,
2
k的值是1;
2
（3）设点D（x,」x+2）,则E（x,1x）,F（x,0）,
22
•••DE=2EF,
-1x+2-1x=2X1x,
222
解得：
x=1,
则-1x+Z=1X1+2=3,
322
•••D（1,3）.
2
点评：
本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系.
8.在直角坐标系中，B、A分别在x,y轴上，B的坐标为（3,0）,/ABO=3（J,AC平分/OAB交x轴于C
（1）求C的坐标；
解：
.ZAOB=9（J/ABO=30°/OAB=3（J
又•「AC是/OAB的角平分线
/OAC4CAB=30
.OB=3
OA=3OC=1
即C（1,0）
（2）若D为AB中点，/EDF=60,证明:
证明：
取CB中点H,连CD,DH
.AO=3CO=1
..AC=2
又•••D,H分别是AB,CD中点
DH=1ACAB=23
2
1.
.DB=-AB=V3BC=2/ABC=302
:
.BC=2CD=2/CDB=60CD=1=DH
./EOF玄EDC吆CDF=60/EDC玄FDH
.AC=BC=2
CD±ABADC=90o__oCBA=30
/ECD=60°
.HD=HB=1
/DHF=6（J
在ADCE和4DHF中
/EDC=/FDH/DCE=/DHFDC=DH
CE+CF=OC
/CDB4CDF吆FDH=60
ADCE^△DHF（AAS）
•.CE=HF
•.CH=CF+FH=CF+CE=1OC=1
•.CH=OC
OC=CE+CF
（3）若D为AB上一点,EBC的度数是否发生变化;解：
不变/EBC=60
设DB与CE交与点
以D作ADEC使DC=DE/EDC=120,连BE,试问/
若不变，请求值。
DC=DE/EDC=120/DECWDCE=30^ADGCffiADCB中
J/CDG4BDC[/DCG4DBC=30
・.△DGCsADCB
DC_DB
DG-DC
DC=DE
DEDB=DGDE在EDG和BDE中
DE=DB
DGDE
/EDG=/BDE
••.△EDGsABDE
/DEG=/DBE=30°
/EBD=/DBE+/DBC=60°
9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a,0）,交y轴正半轴于点B（0,b）,且a、b满
足,a4+|4—b|=0
（1）求A、B两点的坐标；
（2）D为OA的中点，连接BQ过点O作OaBD于F,交AB于E,求证/BDO/EDA
（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt^PBM其中PB=PM直线MA交y轴于点Q,当点P在x轴上运动时，线段OQ勺长是否发生变化？
若不变,求其值；若变化，求线段OQ勺取值范围.
考点：
全等三角形的判定与性质；非负数的性质：
绝对值；非负数的性质：
算术平方根.
专题：
证明题；探究型.
分析：
①首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a、b的方程，解方程组即可求出a,b
的值，也就能写出A,B的坐标；
②作出/AOB的平分线，通过证△BOGOAE得到其对应角相等解决问题；
③过M作x轴的垂线，通过证明^PBO^AMPN得出MN=AN,转化到等腰直角三角形中去
就很好解决了.
解答：
解：
①:
<'a―4+|4-b|=0
a=4,b=4,
••A（4,0）,B（0,4）;
（2）作/AOB的角平分线，交BD于G,/BOG=/OAE=45,OB=OA,
/OBG=/AOE=90-/BOF,
・.△BOG^AOAE,OG=AE.
・./GOD=/A=45,OD=AD,GODEDA.
・./GDO=/ADE.
（3）过M作MN，x轴，垂足为N.
・./BPM=90,
・••/BPO+/MPN=90.
・••/AOB=/MNP=90,
/BPO=/PMN,/PBO=/MPN.
・••BP=MP,
・.△PBO^AMPN,
MN=OP,PN=AO=BO,
OP=OA+AP=PN+AP=AN,MN=AN,/MAN=45.
・••/BAO=45,
••.ZBAO+/OAQ=90
.BAQ是等腰直角三角形.
OB=OQ=4.
，无论P点怎么动OQ的长不变.
点评：
（1）考查的是根式和绝对值的性质.
（2）考查的是全等三角形的判定和性质.
（3）本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质，还有特殊三角
形的性质.
10、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B
的坐标为（0,1）,
/BAB30。
.
（1）求AB的长度；
（2）以AB为一边作等边△ABE作OA的垂直平分线M竣AB的垂线AD于点D.求证：
BD=OE
考点：
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30度角的
直角三角形.
专题：
计算题；证明题.
分析：
（1）直接运用直角三角形30。
角的性质即可.
（2）连接OD,易证△ADO为等边三角形，再证△ABD^AAEO即可.
（3）作EHXAB于H,先证△ABOAEH,得AO=EH,再证△AFD^AEFH即可.
解答：
（1）解：
二•在RtAABO中，/BAO=30,
AB=2BO=2;
（2）证明：
连接OD,.「△ABE为等边三角形，
AB=AE,/EAB=60,
BAO=30,作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D,/DAO=60.
/EAO=/NAB
又「DO=DA,
・•.△ADO为等边三角形.
DA=AO.
在△ABD与△AEO中，
•••AB=AE,/EAO=/NAB,DA=AO
ABD^AAEO.
BD=OE.
（3）证明：
作EHXAB于H.
.AE=BE,AH=-1AB,
2
BO=1AB,
升级会员 