研究院北京二模理分类汇编圆锥曲线教师版.docx
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2018二模分类汇编——圆锥曲线
1.（2018东城二模·理）已知双曲线C：
－＝1的一条渐近线的倾斜角为60º，且与椭圆+y2＝1有相等的焦距，则C的方程为
（A）－y2＝1（B）－＝1（C）x2－＝1（D）－＝1
1.C
2.（2018海淀二模·理）设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2.A
3.（2018丰台二模·理）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
B
4.（2018海淀二模·理）能够使得命题“曲线上存在四个点，，，满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为.
4.答案不唯一，或的任意实数
5.（2018房山二模·理）设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．
5.
6.（2018顺义二模·理）设双曲线经过点（4,1）,且与具有相同渐近线,则的方程为________________;渐近线方程为__________________.
6..
7.（2018朝阳二模·理）双曲线（）的离心率是；该双曲线的两条渐近线的夹角是.
7.
8.（2018昌平二模·理）已知双曲线：
的渐近线方程为，则双曲线的离心率是．
8.
9.（2018海淀二模·理）（本小题共14分）
已知椭圆：
，为右焦点，圆：
，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在两侧.
（Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率;
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.
8.（本小题共14分）
解：
（Ⅰ）在椭圆：
中，，，
所以， 2分
故椭圆的焦距为， 3分
离心率． 5分
（Ⅱ）法一：
设（，），
则，故． 6分
所以，
所以， 8分
． 9分
又，，故． 10分
因此 11分
．
由，得，即，
所以， 13分
当且仅当，即，时等号成立. 14分
（Ⅱ）法二：
设（）， 6分
则，
所以， 8分
． 9分
又，，故． 10分
因此 11分
， 13分
当且仅当时，即，时等号成立． 14分
10.（2018房山二模·理）（本小题分）
已知椭圆的离心率为，为坐标原点，是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，且轴，的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过上一点的直线：
与直线相交于点，与直线相交于点.证明：
当点在上移动时，恒为定值，并求此定值．
10.（Ⅰ）设，则
又
因的面积为
由得
所以C的方程为…………5分
（Ⅱ）由
（1）知直线l的方程为（y0≠0），即y＝（y0≠0）．
因为直线AF的方程为x＝1，所以直线l与AF的交点为M，
直线l与直线x＝4的交点为N，
则＝
又P（x0，y0）是C上一点，则.
代入上式得
＝
所以=，为定值．…………14分
11.（2018朝阳二模·理）已知抛物线.
（1）写出抛物线的直线方程，并求出抛物线的焦点到准线的距离；
（2）过点且斜率存在的直线与抛物线交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.
1）求点的坐标；
2）求与面积之和的最小值.
11.【解析】
（Ⅰ）由题可得,所以准线方程为
抛物线的焦点到准线的距离为.
（Ⅱ）
（i）解:
令则且令,令
所以
则直线方程为
当时,
所以
（ii）解:
则
当且仅当时,即等号成立
12.（2018西城二模·理）（本小题满分14分）
已知直线与抛物线相切于点．
（Ⅰ）求直线的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设在抛物线上，为的中点．过作轴的垂线，分别交抛物线和直线于，．记△的面积为，△的面积为，证明：
．
12.（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）由得．①………………2分
依题意，有，且．
解得．………………3分
所以直线的方程为．………………4分
将代入①，解得，
所以点的坐标为．………………5分
（Ⅱ）设，则，所以．………………7分
依题意，将直线分别代入抛物线与直线，
得，．………………8分
因为………10分
，………………12分
所以．………………13分
又为中点，所以两点到直线的距离相等，
所以．………………14分
13.（2018东城二模·理）（本小题13分）
已知抛物线C：
y2=2px经过点P（2，2），A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．
（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（II）若，求△AOB面积的最小值.
13.（共13分）
解：
（I）由抛物线C：
y2=2px经过点P（2，2）知，解得.
则抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为.………………4分
（II）由题知，直线不与轴垂直，设直线：
，
由消去，得.
设，则.
因为，所以，即，
解得（舍）或.
所以.解得.
所以直线：
.
所以直线过定点.
.
当且仅当或时，等号成立.
所以面积的最小值为4.……………………………………13分
14.（2018昌平二模·理）（本小题14分）
已知椭圆经过点，且离心率为．
（I）求椭圆E的标准方程；
（II）过右焦点F的直线（与x轴不重合）与椭圆交于两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点，求实数m的取值范围．
14.（共14分）
（Ⅰ）由题意，得，解得．
所以椭圆E的标准方程是．-------------------5分
（II）
（1）当直线轴时，m=0符合题意．
（2）当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为，
由，得，
由，得R．
设，，则．
所以，
所以线段AB中点C的坐标为．
由题意可知，，故直线的方程为，
令x=0，，即
当k>0时，，得，当且仅当时“=”成立．
同理，当k<0时，，当且仅当时“=”成立．
综上所述，实数m的取值范围为．--------------------14分
15.（2018丰台二模·理）（本小题共14分）
已知椭圆：
的长轴长为，离心率为，过右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求的值．
15.（本小题共14分）
解：
（Ⅰ）依题意得，所以．…………………1分
因为，所以．…………………2分
所以．…………………3分
所以椭圆的方程为．…………………4分
（Ⅱ）椭圆的右焦点．…………………5分
设直线：
，设，．………6分
联立方程组，
消得，成立．…………………8分
所以，．…………………9分
因为，…………………10分
所以，即，…11分
所以恒成立．…………………12分
因为，所以，
即，…………………13分
化简为，
所以．…………………14分
16.（2018顺义二模·理）（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，离心率为，点满足条件.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，记和的面积分别为，证明：
.
16.解：
（Ⅰ）椭圆的标准方程为：
∴，------------------------2分
则，--------------------3分
∵，解得-------------4分
（Ⅱ）方法一：
①若直线的斜率不存在，则，，符合题意--------5分
②若直线的斜率存在，因为左焦点，则可设直线的方程为：
，
并设.
联立方程组，消去得：
---6分
∴,--------------------------------7分
∵----------------9分
∴-------------------------------------------------------------------12分
∵，
∴------------------------------------------------------------------14分
方法二：
依题意可设直线的方程为：
，并设.—5分
联立方程组，消去，得--------6分
∴,--------------------------------7分
∵------------------------------9分
∴------------------------------------------------------------------12分
∵，
∴------------------------------------------------------------------14分
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