排列组合的二十种解法总结Word格式.docx
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288练习题:
7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：
可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522A5A2A2480种不同的排法练习题:
某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:
分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5第二步将4舞蹈插入第一步排好5种，4的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A6不同的方法,由分步计数原理,节目的不同4顺序共有A55A6如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:
（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种3数是：
A77/A3（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有A7种方法。
思考:
可以先让甲乙丙就坐吗?
44（插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法
练习题:
10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
5C10五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:
完成此事共分六步:
把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有7种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素n的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为m种练习题：
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为422.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法7六.环排问题线排策略例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：
围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！
种排法即7！
86ABCDEFGHA
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有（n-1）!
种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆1mAn形排列共有n
练习题：
6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:
8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A4种,再排后4个位置上的特殊元素丙有A4种,其余的5人在5个位置上任意排列有A515215种,则共有A24A4A5种
前排
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.2解:
第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C5种方法.再把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内有A44种方法，根据分步计数原理装球的方法共有24C5A4练习题：
一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有A22种排法，再排小集团内部共有2222种排法，由分步计数原理共有A2AA222A2A2种排法.
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为54A2A25A42.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A2A5A5种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种2556插板方法对应一种分法共有C9种分法。
二班三班四班七班
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，m?
1插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cn?
1练习题：
41．10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
C932.x?
y?
z?
w?
100求这个方程组的自然数解的组数C103
十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
解：
这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。
这十个数字中有35个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法12123有C5。
再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条C5,和为偶数的取法共有C5C5?
C5123件的取法共有C5C5?
C5?
9
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解:
分三步取书得C6C4C2种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为（AB,CD,EF）,则222C6C4C2中还有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）共有2223种取法,而这些分法仅是（AB,CD,EF）一种分法,故共有A3CCC/A36423种分法。
222
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以Ann（n为均分的组数）避免重复计数。
某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
（120）十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法2解：
从5个球中取出2个与盒子对号有C5种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2种2C5
号盒5号盒
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？
（9）2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,
十六.分解与合成策略例16.30030能被多少个不同的偶数整除分析：
先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×
3×
5×
7×
11×
13依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，12345所有的偶因数为：
C5?
C5练习:
正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解：
我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共C8?
12?
58,每个四面体有43对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3?
58?
174对异面直线十七.化归策略例17.25人排成5×
5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
将这个问题退化成9人排成3×
3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人111所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×
3方队中选3人的方法有C3C2C1种。
再从5×
5方阵选出3×
3方阵便可解决问题.从5×
5方队中选取3行3列有3333111C5C5选法所以从5×
5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有C5C5C3C2C1选法。
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，3A走到B的最短路径有多少种？
（C7?
35）BA十八.数字排序问题查字典策略例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
N?
2A5?
2A4?
A3?
A2?
A1?
29754321
练习:
用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是3140十九.树图策略例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______N?
10
分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（i?
1,2,3,4,5）的不同坐法有多少种？
44二十.复杂分类问题表格策略例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法解:
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效小结
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。
排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。
同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。
根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
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