届广州市高三年级调研测试理科数学答案.docx
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届广州市高三年级调研测试理科数学答案
2018届广州市高三年级调研测试
理科数学试题答案及评分参考
评分说明：
1•本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3•解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数.选择题不给中间分.
•选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
B
A
A
D
D
B
A
C
C
.填空题
13.10
14.4
15.4
16.11
三、解答题
17.
（1）解法1:
由已知，得acosBbcosA2ccosA.
由正弦定理，得sinAcosBsinBcosA2sinCeosA,1分
即sin（AB）2sinCcosA.
因为sin（AB）sin（C）sinC,
所以sinC2sinCcosA.
因为sinC0,所以cosA丄
2
因为0A，所以A-.
3
222222
解法2：
由已知根据余弦定理，得aac——2cbbc―—.
2ac2bc
即b2c2a2bc
所以cosA
222
bca
2bc
6分
1分
3分
5分
因为0A
所以A
（2）解法
1：
由余弦定理
a2b2
e22beeosA,
得be
b2
即（b
e）2
因为
be
2
be
=?
2
所以
（b
e）23（be）24.
4（当且仅当
be2时等号成立）.
11分
所以
ABC周长
解法
2:
因为
sinA
e的最大值为6
爲爲2R，且a2，A3，
12分
所以
辽sinB
3
SinC.
3
所以
4.3
3
4胚2
sinBsinC2sinBsinB
33
4sin
10分
B乙,
3
故厶ABC周长a
因为
时，a
3
be的最大值为6.
所以当
be取得最大值6.
12分
18.
（1）证明：
连接BD，交AC于点O,
设PC中点为F,
连接OF,EF.
因为O,F分别为AC,
PC的中点,
所以OFPPA，且OF
1
2pa，
因为DEPPA，且de
2pa，
D
C
B
1分
所以OFPDE，且OF
DE.
所以四边形OFED为平行四边形，所以ODPEF，即BDPEF.
因为PA平面ABCD,BD平面ABCD，所以PABD•
因为ABCD是菱形，所以BDAC•
因为PAIACA，所以BD平面PAC.4分
因为BDPEF,所以EF平面PAC.5分
因为FE平面PCE,所以平面PAC平面PCE.6分
（2）解法1：
因为直线PC与平面ABCD所成角为45°,
所以PCA45，所以ACPA2.7分
所以ACAB，故△ABC为等边三角形.
设平面CDE的法向量为mx2,y2,z2
所以二面角PCED的余弦值为「
4
解法2：
因为直线PC与平面ABCD所成角为4丘，且PA平面ABCD,
所以PCA4^，所以ACPA2.7分
数学（理科）试题A第3页共10页
因为AB
因为PA
所以OF
BC2，所以ABC为等边三角形.
由
（1）知PA//OF,
平面ABCD，平面ABCD.
OC平面ABCD，所以OFOB且OFOC.
OC.
以点O为原点，OB,OC,OF分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系Oxyz（如图）.
则O（0,0,0）,P（0,1,2）,C（0,1,0）,D（x3,0,0）,E（,3,0,1）,
令X2
设平面
y2
11分
1，则
设平面
uuu则CP
3,则法向量
m则
m
令y1
则n
n
Z2
0.
1,.3,0.
设二面角P
CE
D的大小为，
由于
为钝角,
则cos
所以二面角
cos.n,m
PCED的余弦值为
12分
解：
（1）由已知数据可得
5,y
5__
因为（Xix）（yiy）
i1
5
（Xix）
i1
（3）2
（1）2021232
25,
（yi
y）
2
02
02
02
2
所以相关系数r
（Xi
i1
x）（yy）
n
i1
（Xi
n
1
（yi
y）
6
2、一5、、2
0.95•
因为r0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.6分
（2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪.
1安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元.7分
2安装2台光照控制仪的情形：
当X>70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=3000-1000=2000元，
当30故Y的分布列为
Y
2000
6000
P
0.2
0.8
所以EY20000.260000.85200元.9分
3安装3台光照控制仪的情形：
当X>70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=1X3000-2X1000=1000元，
当50WXW70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y=2X3000-1X1000=5000元，
当30故Y的分布列为
Y
1000
5000
9000
P
0.2
0.7
0.1
所以EY10000.250000.790000.14600元.11分
综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪.12分
1c1
20.解：
（1）因为椭圆C的离心率为一，所以，即a2c.
2a2
2
又a2b2+c2，得b2=3c2，即b2
所以椭圆C的方程为耸
a
把点1,26代人c中,
3
2
所以椭圆C的方程为乂
4
（2）解法1:
设直线
I的斜率为k,
则直线I的方程为ykx+2,
y
由xl
~3
kx
2
y
4
2,
得3k24
1,
x212kx0.
设AXa°a
BXb』b
则有Xa0,xB
12k
2，
3k24
所以
yB
6k28
3k24
所以
12k6k28
3?
43k24
因为
所以
MO
yM1
MA，所以M
在线段OA的中垂线上,
因为yMkxM2，所以Xm
设H（Xh，0）
又直线HM垂直l，
所以kMH
即-一
1
kXh
所以xH
又F10,1
所以
UJIT
RB
12k
49k：
4
3k24'3k2
ULUU
，RH
iuur
因为F1B
UUUL
F1H0,所以
12k,
3k24
49k2
3k24
10分
解得k2
11分
所以直线
2V6
I的方程为yx2.
3
12分
解法2：
设直线I的斜率为k，则直线I方程ykx+2,
21.解：
（1）函数fX的定义域为0,
当b
2时，fx
alnx
2
X,所以1
Fa
fx
2
c2xa
Ov
4Zk
2X.
1分
x
x
①当
ta0时，f
『x0,
所以fx
在0,
卜苗］国］茁+苗
上单调递增，
2分
1
1
12
取X0
ea，则f
a
1ea
c
e
0,
3分
1
（或：
因为0Xoa：
0
e
aInx0
2
Xo
aInx0
aaln】a
e
因为
11,所以
fx0gf10,此时函数fx有一个零点.
a0时，令f
解得x
②当
时,
上单调递减;
在0,
要使函数fx有一个零点，则
aIn
综上所述，若函数
所以fX在
a0即a2e.
2
上单调递增.
x恰有一个零点，则a2e或a0.
1
（2）因为对任意X1,X2-,e，有f捲fx2e2成立,
fx
min
e
因为
f
X1
fx2
fX
max
f
Xmin，
所以
f
X
fX
e
2.…
max
min
因为a
b
0，则ab.
bb1bxb1
所以
f
X
blnx
X，所以
f
X
bbxb1
XX
当0
X
1
时，f
x0，当
X
1时，
fx0,
1
所以函数fx在-,1上单调递减，在1,e上单调递增,
e
因为
eb，所以f
max
max
e.9分
设g
b
fef
1bb
ee
e
2b
b
0,
则g
b
bb
ee
22ebeb
2
0.
所以
gb
在0,
上单调递增，故
g
b
g00,所以f
:
e
e
从而fx
max
febeb
10分
所以beb1e2即ebbe10,
设b=ebbe1b0，贝yb=eb1.
当b0时，b0,所以b在0,上单调递增.
又10，所以ebbe10，即为b1，解得b1.11分
因为b0，所以b的取值范围为0,1.12分
xCOS/,,
22.解：
（1）因为曲线G的参数方程为（为参数），
x2cos,
y2sin.
y2sin
x2x
因为'，则曲线C2的参数方程
yy.
所以C2的普通方程为x2y24
所以C2为圆心在原点，半径为2的圆.
所以C2的极坐标方程为24,
因为5、22，所以圆C2与直线l相离.
所以圆C2上的点M到直线l的距离最大值为dr522，最小值为dr522.…10分
23.解：
（1）当a1时，f（x）|x1|.1分
1当x1时，原不等式可化为x12x2，解得x1.2分
1
2当1x—时，原不等式可化为x12x2，解得x1，此时原不等式无解.……3分
2
1
3当x时，原不等式可化为x12x，解得x1.4分
2
综上可知，原不等式的解集为xx1或x1.5分
3a,x3,
（2）解法1：
①当a3时，gx2xa3,3xa,6分
a3,xa.
所以函数gx的值域Aa3,3a,
因为[2,1]A，所以a32解得a1.7分
3a1,
3a,xa,
②当a3时，gx2xa3,ax3,8分
a3,x3.
所以函数gx的值域A3a,a3,
因为[2,1]A，所以3a2解得a5.9分
a31,
综上可知，a的取值范围是,1U5,.10分
解法2:
因为|x+a||x+3|x+a（x+3）a3,7分
所以gxf（x）|x+3||x+a||x+3|[|a3|,|a3|].
所以函数g（x）的值域A[|a3|,|a3|].8分
因为[2,1]A，所以|a3|2解得a1或a5.
|a3|1,
所以a的取值范围是,1U5,.10分
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